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Arkussekans

Arkussekans (abgekürzt: $\arcsec$, $\asec$; manchmal auch $\sec^{-1}$) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion von Sekans.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\[ \]

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Graph der Arkussekansfunktion $\arcsec(x)$

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \leq -1$, $1 \leq x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \leq \arcsec(x) \leq \pi$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend für $x \leq -1$ streng monoton steigend für $x \geq 1$
Krümmung	streng konvex für $x \leq -1$ streng konkav für $x \geq 1$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Punkt $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$
Asymptoten	$\arcsec(x) \rightarrow \frac{\pi}{2}$ für $x \rightarrow \pm\infty$
Nullstellen	$x_0=1$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	Minimum bei $\left( 1, 0 \right)$ Maximum bei $\left( -1, \pi \right)$
Wendepunkte	keine

Die Ableitung von Arkussekans lautet:

\Bigl[ \arcsec(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arcsec(x) = \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}

Die Stammfunktion von Arkussekans lautet:

\int{\arcsec(x)\ dx} = x \cdot \arcsec(x) - \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Die Reihenentwicklung von Arkussekans ist

\begin{align*} \arcsec(x) &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{-2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - x^{-1} - \frac{1}{6} x^{-3} - \frac{3}{40} x^{-5} - \frac{5}{112} x^{-7} - \ldots \end{align*}