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Arkussekans (Funktion)

Die Arkussekans-Funktion (abgekürzt: arcsec, asec; manchmal auch sec-1) gehört zu den Arkusfunktionen und ist die Umkehrfunktion der Sekans-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der Trigonometrie verwendet (z. B. bei der Bestimmung von Winkeln, falls der Sekans des Winkels bekannt ist), aber auch in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften.

Definition

Bei der Arkussekans-Funktion (abgekürzt: arcsec, asec; manchmal auch sec-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Sekans-Funktion. Sie ordnet dem Sekans eines Winkels wieder den ursprünglichen Winkel zu. (Hinweis: Da die Sekans-Funktion periodisch und nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl[ 0,\pi \bigr]$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)

Die Arkussekans-Funktion kann wie folgt formal definiert werden (mit $x,\varphi \in \R$):

\[ \arcsec(x) = \varphi \quad\Leftrightarrow\quad \sec(\varphi) = x. \]

Hierbei gilt:

  • Die Arkussekans-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $-\infty \lt x \leq -1$ bzw. $1 \leq x \lt \infty$ definiert, da die Sekans-Funktion keine Funktionswerte im Intervall $\bigl( -1,1 \bigr)$ annimmt.
  • Bei $\arcsec(x)$ handelt es sich um einen Winkel $\varphi \in \R$ im Intervall $\bigl[ 0,\pi \bigr]$, aber nie um den Wert $\frac{\pi}{2}$, da der Sekans für $\frac{\pi}{2}$ nicht definiert ist.

Zusammengefasst: Die Arkussekans-Funktion $\arcsec(x)$ gibt den Winkel $\varphi$ im Intervall $\bigl[ 0,\pi \bigr]$ an, für den der Sekans den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Funktionsgraph der Arkussekans-Funktion arcsec(x)
Funktionsgraph der Arkussekans-Funktion $\arcsec(x)$

Eigenschaften

Die Arkussekans-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich
  • $-\infty \lt x \leq -1$
  • $1 \leq x \lt \infty$
Wertebereich
  • $0 \leq \arcsec(x) \leq \pi$
  • $\arcsec(x) \neq \frac{\pi}{2}$
Periodizität
  • keine
Monotonie
  • streng monoton steigend für $x \leq -1$
  • streng monoton steigend für $x \geq 1$
Krümmung
  • streng konvex für $x \leq -1$
  • streng konkav für $x \geq 1$
Symmetrien
  • punktsymmetrisch zum Punkt $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$
Asymptoten
  • $\arcsec(x) \rightarrow \frac{\pi}{2}$ für $x \rightarrow \pm\infty$
Nullstellen
  • $x_0=1$
Sprungstellen
  • keine
Polstellen
  • keine
Extremstellen
  • globales Maximum bei $\left( -1, \pi \right)$
  • globales Minimum bei $\left( 1, 0 \right)$
Wendepunkte
  • keine

Ableitung

Hauptartikel: Arkussekans (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Arkussekans-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \geq 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arcsec(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcsec(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \\[0.75em] &= \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Arkussekans (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Arkussekans-Funktion lautet:

\[ \int{\arcsec(x)\ dx} = x \cdot \arcsec(x) - \ln\left( \sqrt{x^2-1} + x \right) + \mathcal{C} \]

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Arkussekans (Reihenentwicklung)

Die Arkussekans-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arcsec(x) &= \frac{\pi}{2} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{(2n-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{-2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - x^{-1} - \frac{1}{6} x^{-3} - \frac{3}{40} x^{-5} - \frac{5}{112} x^{-7} - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Arkussekans-Funktion durch die anderen Arkusfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arcsec(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \arccos\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}} \right) \\[0.75em] &= \arccot\left( \frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}} \right) \\[0.75em] &= \frac{\pi}{2} - \arccsc(x) \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.