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Arkussekans (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Arkussekans-Funktion (abgekürzt: arcsec oder asec) kann direkt aus der Definition der Arkussekans-Funktion als Umkehrfunktion der Sekans-Funktion hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Arkussekans-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \geq 1$ als Umkehrfunktion der Sekans-Funktion formal wie folgt definiert werden (mit $y \in \R$ und $0 \leq y \leq \pi$):

\[ \arcsec(x) = y \quad\Leftrightarrow\quad \sec(y) = x. \]

Ableitungsregel

Die Ableitung der Arkussekans-Funktion (abgekürzt: arcsec oder asec) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \geq 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arcsec(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcsec(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \\[0.75em] &= \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Arkussekans-Funktion basiert auf der Tatsache, dass es sich bei der Arkussekans-Funktion um die Umkehrfunktion der Sekans-Funktion handelt. Aus der Definition $\arcsec(x)=y$ folgt unmittelbar die Aussage $x = \sec(y)$. Diese kann mittels impliziter Differentiation unter Zuhilfenahme der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion, der Reziprokenregel und der Kettenregel direkt abgeleitet und umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} x &= \sec(y) \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\Bigl[ x \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx}\Bigl[ \sec(y) \Bigr] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{d}{dx}\left[ \frac{1}{\cos(y)} \right] \\[0.75em] 1 &\overset{(3)}{=} -\frac{-\sin(y)}{\cos^2(y)} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\Bigl[ y \Bigr] &\overset{(4)}{=} \frac{\cos^2(y)}{\sin(y)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{\cos^2(y)}{\sqrt{1 - \cos^2(y)}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{\sec^2(y) \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\sec^2(y)}}} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \\[1.5em] \Rightarrow\ \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcsec(x) \Bigr] &\overset{(8)}{=} \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2 - 1}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Implizite Differentiation
  • Ableiten der Gleichung nach der Variable $x$
(2)
(3)
(4)
  • Umstellen nach $\frac{d}{dx} \bigl[ y \bigr]$
(5)
  • Ersetzen von $\sin(y)$ durch $\sqrt{1 - \cos^2(y)}$.
  • Diese Gleichheit ergibt sich aus dem trigonometrischen Pythagoras:
    \begin{align*} \sin^2(y) + \cos^2(y) &= 1 \\[0.5em] \Rightarrow\ \sin^2(y) &= 1 - \cos^2(y) \\[0.5em] \Rightarrow\ \sin(y) &= \pm \sqrt{1 - \cos^2(y)} \end{align*}
    Aus der Definition der Arkussekans-Funktion und der Gleichheit $\arcsec(x) = y$ folgt $0 \leq y \leq \pi$. Für diese Werte von $y$ ist die Sinus-Funktion stets nichtnegativ, sodass nur die positive Lösung der Wurzel infrage kommt:
    \[ \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} \]
(6)
  • Ersetzen von $\cos(y)$ durch $\frac{1}{\sec(y)}$ gemäß Definition der Sekans-Funktion
(7)
  • Ersetzen von $\sec(y)$ durch $x$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $x = \sec(y)$
(8)
  • Ersetzen von $y$ durch $\arcsec(x)$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $\arcsec(x) = y$
(9)
  • Umschreiben von $x^2$ zu $|x| \cdot |x|$
  • Hineinziehen eines Faktors $|x|$ in die Wurzel
    \begin{align*} |x| \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} &= \sqrt{{|x|}^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right)} \\[0.5em] &= \sqrt{x^2 \cdot \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right)} \\[0.5em] &= \sqrt{x^2 - 1} \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Arkussekans-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \arcsec(4x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \arcsec(4x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\left| 4x \right| \cdot \sqrt{{(4x)}^2 - 1}} \cdot {\Bigl[ 4x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\left| 4x \right| \cdot \sqrt{16x^2 - 1}} \cdot 4 \\[0.75em] &= \frac{1}{\left| x \right| \cdot \sqrt{16x^2 - 1}} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Arkussekans-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \arcsec\left( x^3 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \arcsec\left( x^3 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\left| x^3 \right| \cdot \sqrt{{\left(x^3\right)}^2 - 1}} \cdot {\Bigl[ x^3 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\left| x^3 \right| \cdot \sqrt{x^6 - 1}} \cdot 3x^2 \\[0.75em] &= \frac{3}{\left| x \right| \cdot \sqrt{x^6 - 1}} \end{align*}