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Sekans

Sekans (abgekürzt: $\sec$) gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\sec(x) := \frac{1}{\cos(x)}

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Graph der Sekansfunktion $\sec(x)$

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$; $x \neq k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Wertebereich	$-\infty \lt \sec(x) \leq -1$ $1 \leq \sec(x) \lt \infty$
Periodizität	Periodisch mit Periodenlänge $2\pi$ $\sec(x+2\pi) = \sec(x)$
Monotonie	streng monoton fallend für $\left( 2k-\frac{1}{2} \right) \cdot \pi \lt x \leq 2k \cdot \pi$ ($k \in \Z$) streng monoton steigend für $2k \cdot \pi \leq x \left( 2k+\frac{1}{2} \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$) streng monoton steigend für $\left( 2k+\frac{1}{2} \right) \cdot \pi \lt x \leq \left( 2k+1 \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$) streng monoton fallend für $\left( 2k+1 \right) \cdot \pi \leq x \lt \left( 2k+\frac{3}{2} \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$)
Krümmung	streng konvex für $\left( 2k-\frac{1}{2} \right) \cdot \pi \lt x \lt \left( 2k+\frac{1}{2} \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$) streng konkav für $\left( 2k+\frac{1}{2} \right) \cdot \pi \lt x \lt \left( 2k+\frac{3}{2} \right) \cdot \pi$ ($k \in \Z$)
Symmetrien	Achsensymmetrisch zur Ordinate gerade Funktion
Asymptoten	Senkrechte Asymptoten bei den Polstellen
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Extrema	Minimum bei $x = 2k \cdot \pi$ Maximum bei $x = \left( 2k+1 \right) \cdot \pi$
Wendepunkte	keine

Die Ableitung von Sekans lautet:

\Bigl[ \sec(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \sec(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\sec^2(x)}{\csc(x)} = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} = \sec(x) \cdot \tan(x)

Die Stammfunktion von Sekans lautet:

\begin{align*} \int{\sec(x)\ dx} &= \ln\left| \frac{1 + \sin(x)}{\cos(x)} \right| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] &= \ln\left| \sec(x) + \tan(x) \right| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\sec^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sec(x)}\ dx} = \int{\sec^{-1}(x)\ dx} &= \sin(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sec^n(x)}\ dx} = \int{\sec^{-n}(x)\ dx} &= TODO {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Sekans ist

\begin{align*} \sech(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k \cdot E_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{24} x^4 + \frac{61}{720} x^6 + \frac{277}{8064} x^8 + \ldots \end{align*}