Nachlesen

Sekans (Funktion)

Die Sekans-Funktion (abgekürzt: sec) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und spielt unter anderem in verschiedenen Bereichen der Mathematik (z. B. in der Geometrie), in der Physik, in der Technik sowie in verschiedenen Ingenieurswissenschaften eine Rolle. Wie alle trigonometrischen Funktionen beschreibt die Sekans-Funktion eine Beziehung zwischen den Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und den Verhältnissen der Seitenlängen – genauer gesagt handelt es sich beim Sekans eines Winkels um das Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete, was alternativ auch als der Kehrwert des Kosinus dargestellt werden kann. Die zur Sekans-Funktion zugehörige Umkehrfunktion ist die Arkussekans-Funktion.

Definition

Die Sekans-Funktion (abgekürzt: sec) gehört zu den trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt sie für einen gegebenen Winkel $\varphi \in \R$ das Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete.

\sec(\varphi) = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}

Für reelle Zahlen $x \in \R$ kann die Sekans-Funktion ebenfalls als Kehrwert der Kosinus-Funktion definiert werden.

\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}

Die Sekans-Funktion ist eine periodische Funktion und hat eine Periodenlänge von $2\pi$. Sie ist an den Stellen $k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) nicht definiert, da der Kosinus dort den Wert null annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Sekans-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$ $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Wertebereich	$-\infty \lt \sec(x) \leq -1$ $1 \leq \sec(x) \lt \infty$
Periodizität	periodisch mit Periodenlänge $2\pi$
Monotonie	streng monoton steigend für $2k\pi \leq x \lt 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng monoton steigend für $2k\pi + \frac{\pi}{2} \lt x \leq 2k\pi + \pi$ (mit $k \in \Z$) streng monoton fallend für $2k\pi + \pi \leq x \lt 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng monoton fallend für $2k\pi + \frac{3\pi}{2} \lt x \leq 2k\pi + 2\pi$ (mit $k \in \Z$)
Krümmung	streng konvex für $2k\pi \leq x \lt 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng konkav für $2k\pi + \frac{\pi}{2} \lt x \lt 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$) streng konvex für $2k\pi + \frac{3\pi}{2} \lt x \leq 2k\pi + 2\pi$ (mit $k \in \Z$)
Symmetrien	achsensymmetrisch zur $y$-Achse gerade Funktion
Asymptoten	senkrechte Asymptoten bei den Polstellen
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ (mit $k \in \Z$)
Extremstellen	Minimum bei $x = 2k\pi$ (mit $k \in \Z$) Maximum bei $x = 2k\pi + \pi$ (mit $k \in \Z$)
Wendepunkte	keine

Ableitung

Hauptartikel: Sekans (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Sekans-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \sec(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sec(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sec^2(x)}{\csc(x)} \\[0.75em] &= \frac{\tan(x)}{\cos(x)} \\[0.75em] &= \sec(x) \cdot \tan(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Sekans (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Sekans-Funktion lautet:

\begin{align*} \int{\sec(x)\ dx} &= \ln\left| \frac{1 + \sin(x)}{\cos(x)} \right| + \mathcal{C} \\[0.75em] &= \ln\bigl| \sec(x) + \tan(x) \bigr| + \mathcal{C} \end{align*}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\sec^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tan(x) \cdot \sec^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sec^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\sec^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\sec(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \sin(x) + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\sec^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\sec^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{n} \cdot \sin(x) \cdot \sec^{-n+1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sec^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Sekans (Reihenentwicklung)

Die Sekans-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \sec(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1)}^k \cdot E_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{24} x^4 + \frac{61}{720} x^6 + \frac{277}{8064} x^8 + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Sekans-Funktion durch die anderen trigonometrischen Funktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \sec(x) &= \pm \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\cos(x)} \\[0.75em] &= \pm \sqrt{\tan^2(x) + 1} \\[0.75em] &= \pm \frac{\sqrt{\cot^2(x) + 1}}{\bigl| \cot(x) \bigr|} \\[0.75em] &= \pm \frac{\bigl| \csc(x) \bigr|}{\sqrt{\csc^2(x) - 1}} \end{align*}

An den Stellen, an denen $\pm$ verwendet wird, gilt (mit $k \in \Z$):

für $2k\pi \leq x \lt 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ muss als Vorzeichen $+$ verwendet werden;
für $2k\pi + \frac{\pi}{2} \lt x \lt 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ muss als Vorzeichen $-$ verwendet werden;
für $2k\pi + \frac{3\pi}{2} \lt x \leq 2k\pi + 2\pi$ muss als Vorzeichen $+$ verwendet werden.