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Areasekans hyperbolicus
Areasekans hyperbolicus (abgekürzt: $\arsech$, $\asech$; manchmal auch $\sech^{-1}$) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion von Sekans hyperbolicus.
Definition
Die Funktion $\arsech$ lässt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $0 \lt x \leq 1$ durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \arsech(x) := \ln\left( \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right) \]
Hierbei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus.
Funktionsgraph
Eigenschaften
| Definitionsbereich |
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| Wertebereich |
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| Periodizität |
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| Monotonie |
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| Krümmung |
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| Symmetrien |
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| Asymptoten |
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| Nullstellen |
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| Sprungstellen |
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| Polstellen |
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| Extrema |
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| Wendepunkte |
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Ableitung
Die Ableitung von Areasekans hyperbolicus lautet:
\[ \Bigl[ \arsech(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arsech(x) = -\frac{1}{x \cdot \sqrt{1-x^2}} \]
Stammfunktion
Die Stammfunktion von Areasekans hyperbolicus lautet:
\[ \int{\arsech(x)\ dx} = x \cdot \arsech(x) - \arctan\left( \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} \right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \]
Reihenentwicklung
Die Reihenentwicklung von Areasekans hyperbolicus ist
\[ \text{TODO} \]