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Logarithmusfunktion

Inhalt

Definition
Funktionsgraph
Eigenschaften
Ableitung
Stammfunktion

Definition

TODO

Funktionsgraph

??Graph01??

Graphen der Logarithmusfunktionen $\log_2(x)$, $\ln(x)$, $\log_3(x)$ und $\log_4(x)$

??Graph02??

Graphen der Logarithmusfunktionen $\log_{\frac{1}{2}}(x)$, $\log_{\frac{1}{e}}(x)$, $\log_{\frac{1}{3}}(x)$ und $\log_{\frac{1}{4}}(x)$

Eigenschaften

	Basis $a \gt 1$	Basis $0 \lt a \lt 1$
Definitionsbereich	$0 \lt x \lt \infty$	$0 \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$-\infty \lt \log_a{x} \lt \infty$	$-\infty \lt \log_a{x} \lt \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Krümmung	streng konkav	streng konvex
Symmetrien	keine	keine
Asymptoten	senkrechte Asymptote bei $x_0=0$	senkrechte Asymptote bei $x_0=0$
Nullstellen	$x_0=1$	$x_0=1$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	keine	keine

Ableitung

Die Ableitung der Logarithmusfunktion lautet:

\Bigl[ \ln{x} \Bigr]' = \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x}

Herleitung der Formeln

Stammfunktion

Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion lautet:

\int{\ln{x}\ dx} = x \cdot \ln{x} - x {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Herleitung der Formeln