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Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion (abgekürzt: ln, log, loga) ist eine wichtige elementare mathematische Funktion, die in vielen Bereichen der Mathematik, in den Naturwissenschaften, in der Informatik und in der Technik von großer Bedeutung ist. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und kann verwendet werden, um den Logarithmus eines Werts zu bestimmen – also den Exponenten, mit dem die Basis potenziert werden muss, um den gegebenen Wert zu erhalten.

Definition

Bei der Logarithmusfunktion (abgekürzt: ln, log, loga) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Sie ordnet einer positiven reellen Zahl denjenigen Wert zu, mit dem eine gegebene Basis potenziert werden muss, um wieder den ursprünglichen Wert zu erhalten.

Die Logarithmusfunktion kann wie folgt formal definiert werden (mit $a,x \in \R^+$):

\[ \log_a(x) = y \quad\Leftrightarrow\quad a^y = x. \]

Hierbei gilt:

  • Die Basis $a$ ist nicht-negativ und ungleich Eins, d. h., es gilt $a \gt 0$ sowie $a \neq 1$.
  • Die Logarithmusfunktion ist nur für positive reelle Zahlen $x \in \R^+$ mit $x \gt 0$ definiert.

Zusammengefasst: Die Logarithmusfunktion loga(x) gibt den Exponenten y an, mit dem die Basis a potenziert werden muss, um x zu erhalten.

Funktionsgraph

Funktionsgraphen der Logarithmusfunktionen ln(x), log_2(x), log_3(x), log_4(x) und log_5(x)
Funktionsgraphen der Logarithmusfunktionen $\ln(x)$, $\log_2(x)$, $\log_3(x)$, $\log_4(x)$ und $\log_5(x)$
Funktionsgraphen der Logarithmusfunktionen log_(1/e)(x), log_(1/2)(x), log_(1/3)(x), log_(1/4)(x) und log_(1/5)(x)
Funktionsgraphen der Logarithmusfunktionen $\log_{\frac{1}{e}}(x)$, $\log_{\frac{1}{2}}(x)$, $\log_{\frac{1}{3}}(x)$, $\log_{\frac{1}{4}}(x)$ und $\log_{\frac{1}{5}}(x)$

Eigenschaften

Die Logarithmusfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Basis $\mathbf{a \gt 1}$ Basis $\mathbf{0 \lt a \lt 1}$
Definitionsbereich
  • $0 \lt x \lt \infty$
  • $0 \lt x \lt \infty$
Wertebereich
  • $-\infty \lt \log_a{x} \lt \infty$
  • $-\infty \lt \log_a{x} \lt \infty$
Periodizität
  • keine
  • keine
Monotonie
  • streng monoton steigend
  • streng monoton fallend
Krümmung
  • streng konkav
  • streng konvex
Symmetrien
  • keine
  • keine
Asymptoten
  • $y$-Achse als senkrechte Asymptote
  • $y$-Achse als senkrechte Asymptote
Nullstellen
  • $x_0=1$
  • $x_0=1$
Sprungstellen
  • keine
  • keine
Polstellen
  • keine
  • keine
Extremstellen
  • keine
  • keine
Wendepunkte
  • keine
  • keine

Ableitung

Hauptartikel: Logarithmus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Logarithmusfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \ln(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{x} \end{align*}

Die Ableitung der Logarithmusfunktion mit beliebiger Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \log_a(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \log_a(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{x \cdot \ln(a)} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Logarithmus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion lautet:

\begin{align*} \int{\ln{x}\ dx} &= x \cdot \ln{x} - x + \mathcal{C} \\[0.75em] &= x \cdot \bigl( \ln{x} - 1 \bigr) + \mathcal{C} \end{align*}

Weitere Stammfunktionen:

\[ \int{\ln^n(x)\ dx} = x \cdot \ln^n(x) - n \cdot \int{\ln^{n-1}(x)\ dx} \]

Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion mit beliebiger Basis $a$ lautet:

\begin{align*} \int{\log_a{x}\ dx} &= x \cdot \log_a{x} - \frac{x}{\ln(a)} + \mathcal{C} \\[0.75em] &= x \cdot \left( \log_a{x} - \frac{1}{\ln(a)} \right) + \mathcal{C} \end{align*}