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Sekans hyperbolicus

Sekans hyperbolicus (abgekürzt: $\sech$) gehört zu den hyperbolischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\sech(x) = \frac{1}{\cosh(x)}

Sekans hyperbolicus lässt sich auch mithilfe der folgenden Formel darstellen:

\sech(x) := \frac{2}{e^x + e^{-x}}

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Graph der Sekans hyperbolicus Funktion $\sech(x)$

Definitionsbereich	$-\infty < x < \infty$
Wertebereich	$0 < \sech(x) \leq 1$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend für $x \leq 0$ streng monoton fallend für $x \geq 0$
Krümmung
Symmetrien	Achsensymmetrie zur Ordinate gerade Funktion
Asymptoten	$\sech(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extrema	Maximum bei $x_0=0$
Wendepunkte	$x_{1/2} = \pm\dfrac{1}{2} \cdot \ln\left( \dfrac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} \right)$

Die Ableitung von Sekans hyperbolicus lautet:

\Bigl[ \sech(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \sech(x) = -\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)} = -\frac{\sech^2(x)}{\csch(x)} = -\frac{\tanh(x)}{\cosh(x)} = -\sech(x) \cdot \tanh(x)

Die Stammfunktion von Sekans hyperbolicus lautet:

\int{\sech(x)\ dx} = \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\sech^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sech(x)}\ dx} = \int{\sech^{-1}(x)\ dx} &= \sinh(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sech^n(x)}\ dx} = \int{\sech^{-n}(x)\ dx} &= TODO {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Sekans hyperbolicus ist

\begin{align*} \sech(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{E_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{24} x^4 - \frac{61}{720} x^6 + \frac{277}{8064} x^8 - \ldots \end{align*}