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Sekans hyperbolicus (Funktion) Die Sekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sech ), manchmal auch Hyperbelsekans genannt, gehört zu den hyperbolischen Funktionen . Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die Areasekans-hyperbolicus-Funktion .
Funktionsgraph Funktionsgraph der Sekans-hyperbolicus-Funktion $\sech(x)$ Eigenschaften Die Sekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:
Definitionsbereich $-\infty \lt x \lt \infty$ Wertebereich Periodizität Monotonie streng monoton steigend für $x \leq 0$ streng monoton fallend für $x \geq 0$ Krümmung streng konvex für $-\infty \lt x \leq -\frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} \right)$ streng konkav für $-\frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} \right) \leq x \leq \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} \right)$ streng konvex für $\frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} \right) \leq x \lt \infty$ Symmetrien achsensymmetrisch zur $y$-Achse gerade Funktion Asymptoten $\sech(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$ Nullstellen Sprungstellen Polstellen Extremstellen Wendepunkte $x_{1/2} = \pm\frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{3 + \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2}} \right)$
Ableitung Sekans hyperbolicus (Ableitungsregel)
Die Ableitung der Sekans-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:
\begin{align*} {\Bigl[ \sech(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \sech(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\frac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\sech^2(x)}{\csch(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\tanh(x)}{\cosh(x)} \\[0.75em] &= -\sech(x) \cdot \tanh(x) \end{align*}
Stammfunktion Sekans hyperbolicus (Integrationsregel)
Die Stammfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion lautet:
\[ \int{\sech(x)\ dx} = \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) + \mathcal{C} \]
Weitere Stammfunktionen:
\begin{align*} \int{\sech^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n-1} \cdot \tanh(x) \cdot \sech^{n-2}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\sech^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\sech^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\sech(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \sinh(x) + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\sech^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\sech^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \sech^{-n+1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sech^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}
Reihenentwicklung Sekans hyperbolicus (Reihenentwicklung)
Die Sekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung :
\begin{align*} \sech(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{E_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{24} x^4 - \frac{61}{720} x^6 + \frac{277}{8064} x^8 - \ldots \end{align*}
Identitäten Mithilfe der folgenden Formeln kann die Sekans-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Hyperbelfunktionen dargestellt werden:
\begin{align*} \sech(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2(x)}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\cosh(x)} \\[0.75em] &= \sqrt{1 - \tanh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sqrt{\coth^2(x) - 1}}{|\coth(x)|} \\[0.75em] &= \frac{|\csch(x)|}{\sqrt{1 + \csch^2(x)}} \end{align*}
