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Aufrundungsfunktion

Die Aufrundungsfunktion, auch Ceiling-Funktion oder obere Gaußklammer genannt, ist eine elementare mathematische Funktion. Sie spielt beispielsweise in der Zahlentheorie, der Analysis und der Informatik eine wichtige Rolle. Sie ordnet jeder reellen Zahl die kleinste ganze Zahl zu, die größer oder gleich ihr selbst ist. Die Aufrundungsfunktion ist eng verwandt mit der Abrundungsfunktion.

Definition

Die Aufrundungsfunktion bzw. die Ceiling-Funktion (abgekürzt: ⌈x⌉) ordnet jeder reellen Zahl $x \in \R$ die kleinste ganze Zahl zu, die größer oder gleich $x$ ist. Sie kann wie folgt definiert werden:

\lceil x \rceil = \min\Bigl\{ n \in \Z \mid n \geq x \Bigr\}

Der Wert $\lceil x \rceil$ entspricht somit der kleinsten ganzen Zahl, die $x$ nicht unterschreitet. Für ganzzahlige Werte $x \in \Z$ gilt $\lceil x \rceil = x$ – diese bleiben unverändert.

Beispiele

Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Funktionsweise der Aufrundungsfunktion.

\begin{align*} \lceil 2{,}7 \rceil &= 3 \\[0.5em] \lceil 3 \rceil &= 3 \\[0.5em] \lceil -1{,}3 \rceil &= -1 \\[0.5em] \lceil -4 \rceil &= -4 \end{align*}

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Aufrundungsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$\lceil x \rceil \in \Z$
Periodizität	keine
Monotonie	monoton steigend
Krümmung	keine
Symmetrien	keine
Asymptoten	keine
Nullstellen	$\lceil x \rceil = 0$ für $-1 \lt x \leq 0$
Sprungstellen	$x = k$ (mit $k \in \Z$)
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	keine

Ableitung

Die Aufrundungsfunktion ist keine differenzierbare Funktion, da sie an allen Stellen $x \in \Z$ Sprungstellen besitzt und dort nicht stetig ist. In den offenen Intervallen $(n, n+1)$ mit $n \in \Z$ ist sie konstant und damit differenzierbar mit Ableitung $0$. Für die Ableitung der Aufrundungsfunktion gilt:

\begin{align*} \Bigl[ \lceil x \rceil \Bigr]' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \lceil x \rceil \Bigr] \\[0.75em] &= 0 \quad (\text{für } x \notin \Z) \end{align*}

Stammfunktion

Da die Aufrundungsfunktion auf jedem halboffenen Intervall $(n, n+1]$ mit $n \in \Z$ den konstanten Wert $n+1$ annimmt, lässt sich die Stammfunktion der Aufrundungsfunktion stückweise angeben. Es gilt:

\int{\lceil x \rceil\ dx} = (n+1) \cdot x + \mathcal{C} \quad (\text{für } n \lt x \leq n+1,\ n \in \Z)

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Diese kann für jedes Intervall $(n, n+1]$ einen anderen Wert annehmen.