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Ganze Zahlen

Bei den ganzen Zahlen handelt es sich um eine Erweiterung der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen sowie um die Null. Sie werden typischerweise mit dem Formelsymbol \(\Z\) dargestellt.

Definition

Bei den ganzen Zahlen \(\Z\) handelt es sich um die Menge aller natürlicher Zahlen, die zugehörigen negativen Zahlen sowie, je nach Definition der natürlichen Zahlen, die Zahl Null.

\[ \Z = \Bigl\{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \Bigr\} \]

Formale Definition

Die Menge der ganzen Zahlen kann mithilfe einer Äquivalenzrelation \(\sim\) auf der Menge von geordneten Paaren natürlicher Zahlen formal definiert werden; es gelte:

\[ \forall a,b,c,d \in \N:\ \bigl(a,b\bigr) \sim \bigl(c,d\bigr) \Leftrightarrow a+d = c+b. \]

Bei der Menge der ganzen Zahlen handelt es sich um die Faktormenge (die Menge der Äquivalenzklassen) der Relation \(\sim\); es gilt:

\[ \Z = {\N \times \N} \mathop{/} \sim{} = \Bigl\{ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \mid a,b \in \N \Bigr\}. \]

Die Äquivalenzklasse \({\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) repräsentiert hierbei konzeptuell die ganze Zahl, die sich als Differenz \(a-b\) ergibt.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich exemplarisch um einige ganze Zahlen, ihre zugehörigen Äquivalenzklassen sowie einige mögliche Repräsentanten:

\begin{align*} \begin{alignedat}{3} 0 &= {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim &&= \Bigl\{ (1,1), (2,2), (3,3), \ldots \Bigr\} \\[0.5em] 1 &= {\bigl[(2,1)\bigr]}_\sim &&= \Bigl\{ (2,1), (3,2), (4,3), \ldots \Bigr\} \\[0.5em] 42 &= {\bigl[(43,1)\bigr]}_\sim &&= \Bigl\{ (43,1), (44,2), (45,3), \ldots \Bigr\} \\[0.5em] -1 &= {\bigl[(1,2)\bigr]}_\sim &&= \Bigl\{ (1,2), (2,3), (3,4), \ldots \Bigr\} \\[0.5em] -5 &= {\bigl[(1,6)\bigr]}_\sim &&= \Bigl\{ (1,6), (2,7), (3,8), \ldots \Bigr\}. \end{alignedat} \end{align*}

Arithmetische Operationen

Addition

Hauptartikel: Addition von ganzen Zahlen

Auf der Menge \(\Z = \N \times \N / \sim\) kann eine Addition \(\oplus\) wie folgt definiert werden (mit \(a,b,c,d \in \N\)):

\[ \begin{array}{c} \oplus: \Z \times \Z \rightarrow \Z \\[0.5em] {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \oplus {\bigl[(c,d)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a+c,b+d)\bigr]}_\sim. \end{array} \]

Subtraktion

Hauptartikel: Subtraktion von ganzen Zahlen

Auf der Menge \(\Z = \N \times \N / \sim\) kann eine Subtraktion \(\ominus\) wie folgt definiert werden (mit \(a,b,c,d \in \N\)):

\[ \begin{array}{c} \ominus: \Z \times \Z \rightarrow \Z \\[0.5em] {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \ominus {\bigl[(c,d)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a+d,b+c)\bigr]}_\sim. \end{array} \]

Dies entspricht der Addition des additiven Inversen von \({[(c,d)]}_\sim\).

Multiplikation

Hauptartikel: Multiplikation von ganzen Zahlen

Auf der Menge \(\Z = \N \times \N / \sim\) kann eine Multiplikation \(\odot\) wie folgt definiert werden (mit \(a,b,c,d \in \N\)):

\[ \begin{array}{c} \odot: \Z \times \Z \rightarrow \Z \\[0.5em] {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \odot {\bigl[(c,d)\bigr]}_\sim = {\bigl[(ac+bd,ad+bc)\bigr]}_\sim. \end{array} \]

Division mit Rest

Hauptartikel: Division von ganzen Zahlen

Auf der Menge der ganzen Zahlen kann eine Division mit Rest definiert werden, d. h, für beliebige ganze Zahlen \(a,b \in \Z\) mit \(b \neq 0\) existieren ganze Zahlen \(q,r \in \Z\) mit \(0 \leq r \lt b\), sodass gilt:

\[ a = q \cdot b + r. \]

Eigenschaften

Anordnung

Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet; es gilt:

\[ \ldots \lt -2 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 2 \lt \ldots. \]

Mithilfe dieser Anordnung können die ganzen Zahlen in die folgenden Teilmengen untergliedert werden:

  • die positiven ganzen Zahlen:
    \[ \N = \Bigl\{ 1,2,3,\ldots \Bigr\} \]
  • die nichtnegativen ganzen Zahlen:
    \[ \N_0 = \Bigl\{ 0,1,2,3,\ldots \Bigr\} \]
  • die negativen ganzen Zahlen:
    \[ -\N = \Bigl\{ \ldots,-3,-2,-1 \Bigr\} \]
  • die nichtpositiven ganzen Zahlen:
    \[ -\N_0 = \Bigl\{ \ldots,-3,-2,-1,0 \Bigr\} \]

Die Zahl 0 selbst ist vorzeichenlos und somit weder positiv noch negativ.

Die Ordnung der ganzen Zahlen ist verträglich mit den Rechenoperationen; es gilt:

\begin{align*} a \lt b \wedge c \lt d &\quad\Rightarrow\quad a+c \lt b+d \\[0.5em] a \lt b \wedge 0 \lt c &\quad\Rightarrow\quad a \cdot c \lt b \cdot c. \end{align*}

Absoluter Betrag

Der (absolute) Betrag \(|a|\) einer ganzen Zahl \(a \in \Z\) kann wie folgt definiert werden:

\[ |a| := \begin{cases} \phantom{-}a & \text{, falls } a \geq 0 \\[0.5em] -a & \text{, falls } a \lt 0. \end{cases} \]

Vorzeichen

Das Vorzeichen \(\sgn(a)\) einer ganzen Zahl \(a \in \Z\) kann wie folgt definiert werden:

\[ \sgn(a) := \begin{cases} \phantom{-}1 & \text{, falls } a \gt 0 \\[0.5em] \phantom{-}0 & \text{, falls } a = 0 \\[0.5em] -1 & \text{, falls } a \lt 0. \end{cases} \]

Mächtigkeit

Die Mächtigkeit der ganzen Zahlen entspricht der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen – die ganzen Zahlen sind somit abzählbar.

Die Gleichmächtigkeit der natürlichen und der ganzen Zahlen kann unmittelbar gezeigt werden, indem die Existenz von bijektiven Abbildungen \(\N \rightarrow \Z\) zwischen der Menge \(\N\) der natürlichen Zahlen und der Menge \(\Z\) der ganzen Zahlen nachgewiesen wird; dies gilt beispielsweise für die folgende Abbildung:

\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c} \N & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \ldots \\[0.5em]\hline \Z & 0 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & \ldots \end{array} \]

Analog kann gezeigt werden, dass bijektive Abbildungen \(\N_0 \rightarrow \Z\) existieren.

Ring

Die Menge \(\Z\) der ganzen Zahlen bildet zusammen mit der Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen einen kommutativen Ring mit Eins \((\Z,\oplus,\odot)\).

  • Die Menge \(\Z\) bildet mit der Addition \(\oplus\) eine kommutative Gruppe:
    • Die Addition \(\oplus\) ist abgeschlossen.
    • Die Addition \(\oplus\) ist assoziativ.
    • Das neutrale Element der Addition \(\oplus\) ist die ganze Zahl \(0 = {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim\).
    • Das additive Inverse der ganzen Zahl \(n={\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) ist die ganze Zahl \(-n={\bigl[(b,a)\bigr]}_\sim\).
    • Die Addition \(\oplus\) ist kommutativ.
  • Die Menge \(\Z\) bildet mit der Multiplikation \(\odot\) einen kommutativen Monoid:
  • Für die Addition und Multiplikation der ganzen Zahlen gelten die Distributivgesetze.

Da für die ganzen Zahlen eine Division mit Rest existiert, handelt es sich bei \((\Z,\oplus,\odot)\) um einen euklidischen Ring. Hieraus folgt für zwei beliebige ganze Zahlen unter anderem die Existenz eines größten gemeinsamen Teilers, der beispielsweise mithilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt werden kann.

Formale Konstruktion

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

Für die formale Konstruktion der ganzen Zahlen wird zunächst die Menge

\[ Z = \N \times \N = \Bigl\{ \bigl(a,b\bigr) \mid a,b \in \N \Bigr\} \]

aller geordneten Paare \((a,b)\) zweier natürlicher Zahlen \(a,b \in \N\) betrachtet. Das Paar \((a,b)\) repräsentiert hierbei die ganze Zahl \(a-b\), die sich gedanklich als Differenz der natürlichen Zahlen \(a\) und \(b\) ergibt.

Auf dieser Menge kann nun eine Äquivalenzrelation \(\sim\) wie folgt definiert werden:

\[ \forall a,b,c,d \in \N:\ \bigl(a,b\bigr) \sim \bigl(c,d\bigr) \Leftrightarrow a-b = c-d. \]

Zwei Paare \((a,b)\) und \((c,d)\) stehen also genau dann in Relation, wenn die Differenzen \(a-b\) und \(c-d\) übereinstimmen – wenn sie also dieselbe ganze Zahl repräsentieren. Diese Definition der Relation \(\sim\) besitzt jedoch ein formales Problem: Die Differenz \(a-b\) zweier natürlicher Zahlen \(a\) und \(b\) ist für den Fall \(b \geq a\) nicht definiert, da das Ergebnis dann keine natürliche Zahl ist. Um dieses Problem zu umgehen, wird stattdessen die folgende alternative Definition der Relation \(\sim\) verwendet, die sich aus der vorherigen Variante durch Addition von \(b\) und \(d\) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt und somit nur noch die stets definierte Addition von natürlichen Zahlen verwendet:

\[ \forall a,b,c,d \in \N:\ \bigl(a,b\bigr) \sim \bigl(c,d\bigr) \Leftrightarrow a+d = c+b. \]

Die Menge \(\Z\) der ganzen Zahlen kann nun formal als

\[ \Z = Z \mathop{/} \sim{} = \Bigl\{ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \mid a,b \in \N \Bigr\} \]

definiert werden, also als die Faktormenge (die Menge der Äquivalenzklassen) der Relation \(\sim\).

Auf dieser Menge können eine Addition \(\oplus\) und eine Multiplikation \(\odot\) wie folgt definiert werden:

\begin{align*} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \oplus {\bigl[(c,d)\bigr]}_\sim &= {\bigl[(a+c,b+d)\bigr]}_\sim \\[0.5em] {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \odot {\bigl[(c,d)\bigr]}_\sim &= {\bigl[(ac+bd, ad+bc)\bigr]}_\sim. \end{align*}

Hierbei ist es insbesondere wichtig, dass die beiden Verknüpfungen wohldefiniert sind, d. h., dass das Ergebnis lediglich von den verknüpften Äquivalenzklassen, aber nicht von den konkreten Repräsentanten der Äquivalenzklassen abhängt.

Nachweis der Äquivalenzrelation

Zum Nachweis, dass es sich bei der zuvor definierten Relation \(\sim\) um eine Äquivalenzrelation handelt, muss gezeigt werden, dass die Relation symmetrisch, reflexiv und transitiv ist.

Nachweis der Symmetrie

Gegeben seien natürliche Zahlen \(a,b,c,d \in \N\). Dann gilt:

\[ \begin{array}{l} \bigl(a,b\bigr) \sim \bigl(c,d\bigr) \\[0.5em] \overset{(1)}{\Rightarrow} a+d = c+b \\[0.5em] \overset{(2)}{\Rightarrow} c+b = a+d \\[0.5em] \overset{(3)}{\Rightarrow} \bigl(c,d\bigr) \sim \bigl(a,b\bigr). \end{array} \]
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition der Relation \(\sim\)
(2)
  • Vertauschen der beiden Seiten der Gleichung aufgrund der Symmetrie der Gleichheitsrelation
(3)
  • Definition der Relation \(\sim\)

Da aus \((a,b) \sim (c,d)\) stets \((c,d) \sim (a,b)\) folgt, ist die Relation \(\sim\) symmetrisch.

Nachweis der Reflexivität

Für natürliche Zahlen \(a,b \in \N\) gilt trivialerweise \((a,b) \sim (a,b)\), da stets \(a+b=a+b\) gilt. Die Relation \(\sim\) ist somit reflexiv.

Nachweis der Transitivität

Gegeben seien natürliche Zahlen \(a,b,c,d,e,f \in \N\). Dann gilt:

\[ \begin{array}{l} (a,b) \sim (c,d) \wedge (c,d) \sim (e,f) \\[0.5em] \quad\overset{(1)}{\Rightarrow} a+d = c+b \wedge c+f = e+d \\[0.5em] \quad\overset{(2)}{\Rightarrow} a+d+c+f = c+b+e+d \\[0.5em] \quad\overset{(3)}{\Rightarrow} a+f+c+d = e+b+c+d \\[0.5em] \quad\overset{(4)}{\Rightarrow} a+f=e+b \\[0.5em] \quad\overset{(5)}{\Rightarrow} (a,b) \sim (e,f). \end{array} \]
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition der Relation \(\sim\)
(2)
  • Addition der beiden Gleichungen
(3)
(4)
  • Subtraktion von \(c+d\) auf beiden Seiten der Gleichung
(5)
  • Definition der Relation \(\sim\)

Da aus \((a,b) \sim (c,d)\) sowie \((c,d) \sim (e,f)\) stets \((a,b) \sim (e,f)\) folgt, ist die Relation \(\sim\) transitiv.

Nachweis der Wohldefiniertheit der Addition

Gegeben seien natürliche Zahlen \(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,d_1,d_2 \in \N\). Es gelte \((a_1,b_1) \sim (a_2,b_2)\) sowie \((c_1,d_1) \sim (c_2,d_2)\). Gemäß der Definition der Relation \(\sim\) gelten somit die folgenden Gleichheiten:

\begin{align*} (\text{I})\quad a_1+b_2 &= a_2+b_1 \\[0.5em] (\text{II})\quad c_1+d_2 &= c_2+d_1. \end{align*}

Es gilt:

\begin{align*} a_1+c_1 + b_2+d_2 &\overset{(1)}{=} a_1+b_2 + c_1+d_2 \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a_2+b_1 + c_2+d_1 \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a_2+c_2 + b_1+d_1 \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Ersetzen von \(a_1+b_2 = a_2+b_1\) gemäß Gleichung (I)
  • Ersetzen von \(c_1+d_2 = c_2+d_1\) gemäß Gleichung (II)
(3)
  • Umsortieren der Summanden mithilfe der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen

Gemäß der Definition der Relation \(\sim\) folgt aus (3) unmittelbar \((a_1+c_1,b_1+d_1) \sim (a_2+c_2,b_2+d_2)\) und somit die Wohldefiniertheit der Addition.

Nachweis der Wohldefiniertheit der Multiplikation

Gegeben seien natürliche Zahlen \(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,d_1,d_2 \in \N\). Es gelte \((a_1,b_1) \sim (a_2,b_2)\) sowie \((c_1,d_1) \sim (c_2,d_2)\). Gemäß der Definition der Relation \(\sim\) gelten somit die folgenden Gleichheiten:

\begin{align*} (\text{I})\quad a_1+b_2 &= a_2+b_1 \\[0.5em] (\text{II})\quad c_1+d_2 &= c_2+d_1. \end{align*}

Multiplikation der Gleichungen (I) und (II) mit \(c_1,c_2,d_1,d_2\) bzw. \(a_1,a_2,b_1,b_2,\) liefert die folgenden Gleichungen. (Bei den mit \(\star\) markierten Gleichungen wurden außerdem die Seiten vertauscht.)

\begin{align*} (c_1\text{I})\quad c_1a_1+c_1b_2 &= c_1a_2+c_1b_1 \\[0.5em] (c_2\text{I})\quad c_2a_1+c_2b_2 &= c_2a_2+c_2b_1 \\[0.5em] (d_1\text{I})\quad d_1a_2+d_1b_1 &\overset{\star}{=} d_1a_1+d_1b_2 \\[0.5em] (d_2\text{I})\quad d_2a_2+d_2b_1 &\overset{\star}{=} d_2a_1+d_2b_2 \\[1.5em] (a_1\text{II})\quad a_1c_1+a_1d_2 &= a_1c_2+a_1d_1 \\[0.5em] (a_2\text{II})\quad a_2c_1+a_2d_2 &= a_2c_2+a_2d_1 \\[0.5em] (b_1\text{II})\quad b_1c_2+b_1d_1 &\overset{\star}{=} b_1c_1+b_1d_2 \\[0.5em] (b_2\text{II})\quad b_2c_2+b_2d_1 &\overset{\star}{=} b_2c_1+b_2d_2 \end{align*}

Addition aller acht Gleichungen liefert:

\[ \begin{array}{l} \phantom{\Rightarrow} c_1a_1+{\color{CornflowerBlue} c_1b_2} + {\color{Orange} c_2a_1}+c_2b_2 + {\color{Magenta} d_1a_2}+d_1b_1 + d_2a_2+{\color{LimeGreen} d_2b_1} \\[0.5em] \phantom{\Rightarrow} {} + a_1c_1+{\color{Red} a_1d_2} + {\color{Goldenrod} a_2c_1}+a_2d_2 + {\color{CadetBlue} b_1c_2}+b_1d_1 + b_2c_2+{\color{Lavender} b_2d_1} \\[0.5em] \phantom{\Rightarrow} = {\color{Goldenrod} c_1a_2}+c_1b_1 + c_2a_2+{\color{CadetBlue} c_2b_1} + d_1a_1+{\color{Lavender} d_1b_2} + {\color{Red} d_2a_1}+d_2b_2 \\[0.5em] \phantom{\Rightarrow} {} + {\color{Orange} a_1c_2}+a_1d_1 + a_2c_2+{\color{Magenta} a_2d_1} + b_1c_1+{\color{LimeGreen} b_1d_2} + {\color{CornflowerBlue} b_2c_1}+b_2d_2 \\[1.5em] \overset{(1)}{\Rightarrow} c_1a_1 + c_2b_2 + d_1b_1 + d_2a_2 + a_1c_1 + a_2d_2 + b_1d_1 + b_2c_2 \\[0.5em] \phantom{\Rightarrow} = c_1b_1 + c_2a_2 + d_1a_1 + d_2b_2 + a_1d_1 + a_2c_2 + b_1c_1 + b_2d_2 \\[1.5em] \overset{(2)}{\Rightarrow} 2 a_1c_1 + 2 b_1d_1 + 2 a_2d_2 + b_2c_2 \\[0.5em] \phantom{\Rightarrow}= 2 a_2c_2 + 2 b_2d_2 + 2 a_1d_1 + 2 b_1c_1 \\[1.5em] \overset{(3)}{\Rightarrow} 2 \bigl( a_1c_1 + b_1d_1 + a_2d_2 + b_2c_2 \bigr) \\[0.5em] \phantom{\Rightarrow} = 2 \bigl( a_2c_2 + b_2d_2 + a_1d_1 + b_1c_1 \bigr) \\[1.5em] \overset{(4)}{\Rightarrow} a_1c_1 + b_1d_1 + a_2d_2 + b_2c_2 \\[0.5em] \phantom{\Rightarrow} = a_2c_2 + b_2d_2 + a_1d_1 + b_1c_1 \end{array} \]
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Subtraktion der Terme \({\color{CornflowerBlue} c_1b_2}\), \({\color{Orange} c_2a_1}\), \({\color{Magenta} d_1a_2}\), \({\color{LimeGreen} d_2b_1}\), \({\color{Red} a_1d_2}\), \({\color{Goldenrod} a_2c_1}\), \({\color{CadetBlue} b_1c_2}\) und \({\color{Lavender} b_2d_1}\) auf beiden Seiten der Gleichung
  • Es gilt exemplarisch \({\color{CornflowerBlue} c_1b_2} = {\color{CornflowerBlue} b_2c_1}\) aufgrund der Kommutativität der Multiplikation von natürlichen Zahlen
(2)
  • Umsortieren der Summanden mithilfe der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen
  • Zusammenfassen der Summanden
  • Es gilt exemplarisch \(c_1a_1 = a_1c_1\) aufgrund der Kommutativität der Multiplikation von natürlichen Zahlen
(3)
  • Ausklammern der 2 mithilfe der Distributivität der Addition und Multiplikation von natürlichen Zahlen
(4)
  • Division durch 2

Gemäß der Definition der Relation \(\sim\) folgt aus (4) unmittelbar \((a_1c_1+b_1d_1,a_1d_1+b_1c_1) \sim (a_2c_2+b_2d_2,a_2d_2+b_2c_2)\) und somit die Wohldefiniertheit der Multiplikation.