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Abrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion, auch Floor-Funktion oder untere Gaußklammer genannt, ist eine elementare mathematische Funktion. Sie spielt beispielsweise in der Zahlentheorie, der Analysis und der Informatik eine wichtige Rolle. Sie ordnet jeder reellen Zahl die größte ganze Zahl zu, die kleiner oder gleich ihr selbst ist. Die Abrundungsfunktion ist eng verwandt mit der Aufrundungsfunktion.

Definition

Die Abrundungsfunktion bzw. die Floor-Funktion (abgekürzt: ⌊x⌋) ordnet jeder reellen Zahl $x \in \R$ die größte ganze Zahl zu, die kleiner oder gleich $x$ ist. Sie kann wie folgt definiert werden:

\lfloor x \rfloor = \max\Bigl\{ n \in \Z \mid n \leq x \Bigr\}

Der Wert $\lfloor x \rfloor$ entspricht somit der größten ganzen Zahl, die $x$ nicht übersteigt. Für ganzzahlige Werte $x \in \Z$ gilt $\lfloor x \rfloor = x$ – diese bleiben unverändert.

Beispiele

Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Funktionsweise der Abrundungsfunktion.

\begin{align*} \lfloor 2{,}7 \rfloor &= 2 \\[0.5em] \lfloor 3 \rfloor &= 3 \\[0.5em] \lfloor -1{,}3 \rfloor &= -2 \\[0.5em] \lfloor -4 \rfloor &= -4 \end{align*}

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Abrundungsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$\lfloor x \rfloor \in \Z$
Periodizität	keine
Monotonie	monoton steigend
Krümmung	keine
Symmetrien	keine
Asymptoten	keine
Nullstellen	$\lfloor x \rfloor = 0$ für $0 \leq x \lt 1$
Sprungstellen	$x = k$ (mit $k \in \Z$)
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	keine

Ableitung

Die Abrundungsfunktion ist keine differenzierbare Funktion, da sie an allen Stellen $x \in \Z$ Sprungstellen besitzt und dort nicht stetig ist. In den offenen Intervallen $(n, n+1)$ mit $n \in \Z$ ist sie konstant und damit differenzierbar mit Ableitung $0$. Für die Ableitung der Abrundungsfunktion gilt:

\begin{align*} \Bigl[ \lfloor x \rfloor \Bigr]' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \lfloor x \rfloor \Bigr] \\[0.75em] &= 0 \quad (\text{für } x \notin \Z) \end{align*}

Stammfunktion

Da die Abrundungsfunktion auf jedem halboffenen Intervall $[n, n+1)$ mit $n \in \Z$ den konstanten Wert $n$ annimmt, lässt sich die Stammfunktion der Abrundungsfunktion stückweise angeben. Es gilt:

\int{\lfloor x \rfloor\ dx} = n \cdot x + \mathcal{C} \quad (\text{für } n \leq x \lt n+1,\ n \in \Z)

Hinweis: Bei $\mathcal{C}$ handelt es sich wie üblich um die Integrationskonstante. Diese kann für jedes Intervall $[n, n+1)$ einen anderen Wert annehmen.