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Nachlesen

Subtraktion von komplexen Zahlen

Bei der Subtraktion von komplexen Zahlen wird die Differenz berechnet, indem die Real- sowie die Imaginärteile der komplexen Zahlen subtrahiert werden.

Inhalt

Definitionen

Subtraktion in algebraischer Form

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Die Differenz der beiden komplexen Zahlen wird berechnet, indem die Real- sowie die Imaginärteile der beiden Zahlen subtrahiert werden:

\[ z_1 - z_2 = \bigl( a_1-a_2 \bigr) + i \cdot \bigl( b_1-b_2 \bigr). \]

Subtraktion in Polarform

Die Subtraktion von komplexen Zahlen in Polarform ist nicht direkt möglich. Die zu subtrahierenden Zahlen müssen zunächst in die algebraische Form umgerechnet und dann subtrahiert werden. Bei Bedarf kann die Differenz anschließend wieder in die Polarform überführt werden.

Beispiel

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form:

\begin{align*} z_1 &= 1+2i \\[0.5em] z_2 &= 2+3i. \end{align*}

Für die Differenz \(z_1-z_2\) ergibt sich somit:

\begin{align*} z_1 - z_2 &= \bigl( 1+2i \bigr) - \bigl( 2+3i \bigr) \\[0.5em] &= \bigl( 1-2 \bigr) + \bigl( 2-3 \bigr)i \\[0.5em] &= -1 - i. \end{align*}

Eigenschaften

Assoziativität

Die Subtraktion von komplexen Zahlen \(z_1\), \(z_2\) und \(z_3\) ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\[ \bigl( z_1 - z_2 \bigr) - z_3 \neq z_1 - \bigl( z_2 - z_3 \bigr). \]

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von komplexen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 2+i \\[0.5em] z_2 &= 5i \\[0.5em] z_3 &= 1+2i. \end{align*}

Für die komplexen Zahlen \(z_1\), \(z_2\) und \(z_3\) gilt

\begin{align*} \bigl( z_1 - z_2 \bigr) - z_3 &= \underbrace{\Bigl( \bigl(2+i\bigr) - 5i \Bigr)}_{=\ 2-4i} - \bigl(1+2i\bigr) \\[0.5em] &= 1-6i \\[1em] z_1 - \bigl( z_2 - z_3 \bigr) &= \bigl(2+i\bigr) - \underbrace{\Bigl( 5i - \bigl(1+2i\bigr) \Bigr)}_{=\ -1+3i} \\[0.5em] &= 3-2i, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Subtraktion von komplexen Zahlen folgt.

Kommutativität

Die Subtraktion von komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

\[ z_1 - z_2 \neq z_2 - z_1. \]

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von komplexen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 1 \\[0.5em] z_2 &= i. \end{align*}

Für die komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) gilt:

\begin{align*} z_1 - z_2 &= 1-i \\[0.5em] z_2 - z_1 &= -1+i, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Subtraktion von komplexen Zahlen folgt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion von komplexen Zahlen. Die komplexe Zahl \(0\) ist rechts-, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element einer komplexen Zahl \(z\) bezüglich der Subtraktion von komplexen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.