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Subtraktion von komplexen Zahlen

Bei der Subtraktion von komplexen Zahlen, auch komplexe Subtraktion genannt, wird die Differenz von zwei komplexen Zahlen berechnet, indem ihre Real- sowie ihre Imaginärteile subtrahiert werden. Die Subtraktion von komplexen Zahlen ist weder assoziativ noch kommutativ. Die komplexe Subtraktion besitzt kein neutrales Element und keine inverse Elemente.

Definition

Komplexe Subtraktion

Bei der komplexen Subtraktion handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung $\C \times \C \rightarrow \C$ auf der Menge $\C$ der komplexen Zahlen. Sie verknüpft zwei komplexe Zahlen, den Minuenden $z_1$ und den Subtrahenden $z_2$, zu einer neuen komplexen Zahl, der Differenz $z_1-z_2$.

Die Subtraktion von komplexen Zahlen kann in algebraischer Form durchgeführt werden. Komplexe Zahlen in Polarform müssen zunächst umgerechnet werden, bevor sie subtrahiert werden können.

Komplexe Subtraktion in algebraischer Form

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Die Differenz der beiden komplexen Zahlen wird berechnet, indem ihre Real- sowie ihre Imaginärteile subtrahiert werden:

\[ z_1 - z_2 = \bigl( a_1-a_2 \bigr) + i \cdot \bigl( b_1-b_2 \bigr). \]

Komplexe Subtraktion in Polarform

Die Subtraktion von komplexen Zahlen in Polarform ist nicht direkt möglich. Die zu subtrahierenden Zahlen müssen zunächst in die algebraische Form umgerechnet und dann subtrahiert werden. Bei Bedarf kann die Differenz anschließend wieder in die Polarform überführt werden.

Beispiel

Im Beispiel wird exemplarisch die Differenz von zwei komplexen Zahlen in algebraischer Form berechnet. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 1+2i \\[0.5em] z_2 &= 2+3i. \end{align*}

Die Differenz $z_1-z_2$ ergibt sich, indem die Real- sowie die Imaginärteile der beiden komplexen Zahlen subtrahiert werden. Es gilt:

\begin{align*} z_1 - z_2 &= \bigl( 1+2i \bigr) - \bigl( 2+3i \bigr) \\[0.5em] &= \bigl( 1-2 \bigr) + \bigl( 2-3 \bigr)i \\[0.5em] &= -1 - i. \end{align*}

Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Subtraktion von komplexen Zahlen ist nicht assoziativ. Für $z_1,z_2,z_3 \in \C$ gilt im Allgemeinen:

\[ \bigl( z_1 - z_2 \bigr) - z_3 \neq z_1 - \bigl( z_2 - z_3 \bigr). \]

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von komplexen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 2+i \\[0.5em] z_2 &= 5i \\[0.5em] z_3 &= 1+2i. \end{align*}

Für die komplexen Zahlen $z_1$, $z_2$ und $z_3$ gilt

\begin{align*} \bigl( z_1 - z_2 \bigr) - z_3 &= \underbrace{\Bigl( \bigl(2+i\bigr) - 5i \Bigr)}_{=\ 2-4i} - \bigl(1+2i\bigr) \\[0.5em] &= 1-6i \\[1em] z_1 - \bigl( z_2 - z_3 \bigr) &= \bigl(2+i\bigr) - \underbrace{\Bigl( 5i - \bigl(1+2i\bigr) \Bigr)}_{=\ -1+3i} \\[0.5em] &= 3-2i, \end{align*}

woraus unmittelbar folgt, dass das Assoziativgesetz für die Subtraktion von komplexen Zahlen nicht gilt.

Nichtkommutativität

Die Subtraktion von komplexen Zahlen ist nicht kommutativ. Für $z_1,z_2 \in \C$ gilt im Allgemeinen:

\[ z_1 - z_2 \neq z_2 - z_1. \]

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von komplexen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 1 \\[0.5em] z_2 &= i. \end{align*}

Für die komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ gilt:

\begin{align*} z_1 - z_2 &= 1-i \\[0.5em] z_2 - z_1 &= -1+i, \end{align*}

woraus unmittelbar folgt, dass das Kommutativgesetz für die Subtraktion von komplexen Zahlen nicht gilt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion von komplexen Zahlen. Die komplexe Zahl $0$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element einer komplexen Zahl $z$ bezüglich der Subtraktion von komplexen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.