Nachlesen

Faktorregel (Ableitungsregel)

Die Faktorregel ist eine der grundlegenden Regeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass ein konstantes (skalares) Vielfaches einer differenzierbaren Funktionen selbst differenzierbar ist. Die Faktorregel besagt zudem, dass der konstante Faktor (das Skalar) beim Ableiten der Funktion erhalten bleibt.

Definition

Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen oder der komplexen Zahlen, eine auf diesem Intervall definierte Funktion $u$ sowie ein reelles bzw. komplexes Skalar $\lambda$. Die Faktorregel besagt, dass das skalare Vielfache

f(x) = \lambda \cdot u(x)

der Funktion $u$ an der Stelle $x_0 \in \mathcal{D}$ differenzierbar ist, falls die Funktion $u$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar ist. Die Ableitung des skalaren Vielfachen an der Stelle $x_0$ entspricht in diesem Fall dem skalaren Vielfachen der Ableitungen, d. h., es gilt:

\begin{align*} f'(x_0) &= {\Bigl[ \lambda \cdot u(x_0) \Bigr]}' \\[0.5em] &= \lambda \cdot u'(x_0) \end{align*}

Oder kurz:

\begin{align*} f' &= {\bigl[ \lambda \cdot u \bigr]}' \\[0.5em] &= \lambda \cdot u' \end{align*}

In Worten: Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.

Beispiel

Das folgende Beispiel verwendet die Faktorregel zum Ableiten der Funktion

\[ f(x) = 3x^5, \]

bei der es sich um ein skalares Vielfaches der Potenzfunktion $x^5$ handelt. Da die Potenzfunktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, kann die Ableitung der Funktion $f$ mithilfe der Faktorregel auf die Ableitung der Funktion $x^5$ zurückgeführt werden. Hierbei wird die Ableitungsregel der Potenzfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ 3x^5 \Bigr]}' \\[0.5em] &= 3 \cdot {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' \\[0.5em] &= 3 \cdot 5 x^4 \\[0.5em] &= 15x^4 \end{align*}

Beweis der Faktorregel

Die Herleitung bzw. der Beweis der Faktorregel für ein skalares Vielfaches einer Funktion erfolgt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Gegeben sei die an der Stelle $x_0$ differenzierbare Funktion $u$ sowie ein Skalar $\lambda$. Bei der Ableitung $u'(x_0)$ handelt es sich nach der Definition der Differenzierbarkeit dann um den folgenden Grenzwert:

u'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \right)

Die Ableitung des skalaren Vielfachen

f(x) = \lambda \cdot u(x)

kann wie folgt über den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt werden:

\begin{align*} f'(x) &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\lambda \cdot u(x_0+h) - \lambda \cdot u(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\lambda \cdot \Bigl( u(x_0+h) - u(x_0) \Bigr)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lambda \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(x_0+h) - u(x_0)}{h} \right)}}_{=u'(x_0)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lambda \cdot u'(x_0) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition der Ableitung von $f$ als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)	Ersetzen der Funktion $f(x)$ durch die Definition $\lambda \cdot u(x)$
(3)	Ausklammern von $\lambda$ im Zähler mithilfe des Distributivgesetzes
(4)	Herausziehen des konstanten Faktors $\lambda$ aus dem Grenzwert
(5)	Ersetzen des Grenzwerts durch die Ableitung $u'(x_0)$ gemäß der initialen Definition