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Potenzfunktionen

Inhalt

Funktionsgraph
Eigenschaften
Ableitung
Stammfunktion

Funktionsgraph

??GraphEven??

Graphen der Potenzfunktionen $x^2$, $x^4$, $x^6$ und $x^8$

??GraphOdd??

Graphen der Potenzfunktionen $x^3$, $x^5$, $x^7$ und $x^9$

Eigenschaften

	gerade Potenzen	ungerade Potenzen mit $\mathbf{n \geq 3}$
Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \leq x^n \lt \infty$	$-\infty \lt x^n \lt \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x \lt 0$ streng monoton steigend für $x \gt 0$	monoton steigend streng monoton steigend (für $x \neq 0$)
Krümmung	konvex streng konvex (für $x \neq 0$)	streng konkav für $x \lt 0$ streng konvex für $x \gt 0$
Symmetrien	achsensymmetrisch zur $y$-Achse	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Asymptoten	keine	keine
Nullstellen	$x_0=0$	$x_0=0$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	Minimum bei $x_0=0$	keine
Wendepunkte	keine	Wendepunkt bei $x_0=0$

Ableitung

Die Ableitung der Potenzfunktion $x^n$ lautet:

\Bigl[ x^n \Bigr]' = \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}

Herleitung der Formeln

Stammfunktion

Die Stammfunktion der Potenzfunktion $x^n$ mit $n \neq -1$ lautet:

\int{x^n\ dx} = \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Für den Fall $n=-1$ kann diese Formel aufgrund der entstehenden Division durch Null nicht verwendet werden. Bei der Potenz $x^{-1}$ handelt es sich allerdings um die Ableitung des natürlichen Logarithmus, sodass gilt:

\int{x^{-1}\ dx} = \int{\frac{1}{x}\ dx} = \ln(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Herleitung der Formeln