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Potenzfunktion

Die Potenzfunktion ist eine der grundlegenden elementaren mathematischen Funktionen, die in vielen Bereichen der Mathematik, in den Naturwissenschaften und in der Technik regelmäßig auftritt. Sie beschreibt Beziehungen, in denen eine Größe als Potenz einer Variable ausgedrückt wird. Im Gegensatz zur Exponentialfunktion, bei der die Basis konstant und der Exponent eine Variable ist, besitzt eine Potenzfunktion somit eine variable Basis und einen konstanten Exponenten. Die zur Potenzfunktion (mit natürlichen Exponenten) zugehörige Umkehrfunktion ist die Wurzelfunktion.

Definition

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion mit der folgenden Form (mit $x,r \in \R$):

x \mapsto x^r

Hierbei gilt:

Der Wert $r \in \R$ ist der Exponent und kann sowohl eine natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahl sein.
Bei der Variable $x \in \R$ handelt es sich um die Basis, auf die die Potenz angewendet wird.

Werden natürliche oder ganzzahlige Exponenten betrachtet, so werden Potenzfunktionen oft auch wie folgt geschrieben:

x \mapsto x^n

Spezialfälle

Es existieren einige Spezialfälle von Potenzfunktionen:

Für den Exponenten n = 0 handelt es sich um eine konstante Funktion.
Für den Exponenten n = 1 handelt es sich um eine (homogene) lineare Funktion.
Für den Exponenten n = 2 handelt es sich um eine quadratische Funktion (eine Parabel).
Für negative ganzzahlige Exponenten handelt es sich um Hyperbeln.
Für einen rationalen Exponenten in der Form $\frac{1}{n}$ handelt es sich um eine Wurzelfunktion.
Aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzte Funktionen werden als ganzrationale Funktionen bzw. als Polynome bezeichnet.
Aus Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten zusammengesetzte Funktionen werden als rationale Funktionen bezeichnet.

Funktionsgraph

Funktionsgraphen der Potenzfunktionen x^(-1), x^(-3), x^(-5), x^(-7) und x^(-9) — Funktionsgraphen der Potenzfunktionen $x^{-1}$, $x^{-3}$, $x^{-5}$, $x^{-7}$ und $x^{-9}$

Eigenschaften

Die Potenzfunktion mit positiven ganzzahligen Exponenten besitzt die folgenden Eigenschaften:

	positive gerade Exponenten	positive ungerade Exponenten (mit $\mathbf{n \geq 3}$)
Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \leq x^n \lt \infty$	$-\infty \lt x^n \lt \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x \lt 0$ streng monoton steigend für $x \gt 0$	monoton steigend streng monoton steigend (für $x \neq 0$)
Krümmung	konvex streng konvex (für $x \neq 0$)	streng konkav für $x \lt 0$ streng konvex für $x \gt 0$
Symmetrien	achsensymmetrisch zur $y$-Achse	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Asymptoten	keine	keine
Nullstellen	$x_0=0$	$x_0=0$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extremstellen	Minimum bei $x_0=0$	keine
Wendepunkte	keine	Wendepunkt bei $x_0=0$

Die Potenzfunktion mit negativen ganzzahligen Exponenten besitzt die folgenden Eigenschaften:

	negative gerade Exponenten	negative ungerade Exponenten
Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$ $x \neq 0$	$-\infty \lt x \lt \infty$ $x \neq 0$
Wertebereich	$0 \lt x^n \lt \infty$	$-\infty \lt x^n \lt \infty$ $x^n \neq 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend für $x \lt 0$ streng monoton fallend für $x \gt 0$	streng monoton fallend für $x \lt 0$ streng monoton fallend für $x \gt 0$
Krümmung	streng konvex für $x \lt 0$ streng konvex für $x \gt 0$	streng konkav für $x \lt 0$ streng konvex für $x \gt 0$
Symmetrien	achsensymmetrisch zur $y$-Achse	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Asymptoten	$x^n \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$ $y$-Achse als senkrechte Asymptote	$x^n \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$ $y$-Achse als senkrechte Asymptote
Nullstellen	keine	keine
Sprungstellen	keine	$x_0=0$
Polstellen	$x_0=0$	$x_0=0$
Extremstellen	keine	keine
Wendepunkte	keine	keine

Ableitung

Hauptartikel: Potenz (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Potenzfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit reellen Exponenten $r \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ x^r \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ x^r \Bigr] \\[0.75em] &= r \cdot x^{r-1} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Potenz (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Potenzfunktion $x^n$ mit $n \neq -1$ lautet:

\int{x^n\ dx} = \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + \mathcal{C}

Für den Fall von Potenzfunktionen mit $n=-1$ kann diese Formel aufgrund der entstehenden Division durch Null nicht verwendet werden. Bei der Potenz $x^{-1}$ handelt es sich allerdings um die Ableitung der Logarithmusfunktion, sodass gilt:

\begin{align*} \int{x^{-1}\ dx} &= \int{\frac{1}{x}\ dx} \\[0.75em] &= \ln(x) + \mathcal{C} \end{align*}