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Potenz (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Potenzfunktion kann direkt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten oder mithilfe des Logarithmus und impliziter Differentiation hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Ableitungsregel

Die Ableitung der Potenzfunktion ist für alle reellen Zahlen xR mit reellen Exponenten rR wie folgt definiert:

[xr]=ddx[xr]=rxr1

Für natürliche oder ganzzahlige Exponenten nN bzw. nZ wird die Ableitung oft auch wie folgt geschrieben:

[xn]=ddx[xn]=nxn1

Herleitung der Ableitungsregel für natürliche Exponenten

Die Herleitung der Ableitungsregel der Potenzfunktion für natürliche Exponenten erfolgt unmittelbar mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Hierbei werden der binomische Lehrsatz sowie die Grenzwertsätze für das Rechnen mit Grenzwerten benötigt. Es gilt:

ddx[xn]=(1)limh0((x+h)nxnh)=(2)limh0([k=0n(nk)xnkhk]xnh)=(3)limh0(xn+[k=1n(nk)xnkhk]xnh)=(4)limh0(hk=1n(nk)xnkhk1h)=(5)limh0(k=1n(nk)xnkhk1)=(6)limh0(nxn1+k=2n(nk)xnkhk1)=(7)limh0(nxn1+hk=2n(nk)xnkhk2)=(8)nxn1
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)
(3)
(4)
  • Zusammenfassen von xnxn=0
  • Ausklammern des Faktors h aus der Summe
(5)
  • Kürzen des Faktors h
(6)
  • Herausziehen des Summanden für k=1 aus dem Summenzeichen
  • Für den Binomialkoeffizienten (n1) gilt
    (n1)=n
(7)
  • Erneutes Ausklammern des Faktors h aus der Summe
(8)
  • Ausrechnen des Grenzwerts
  • Bei hk=2n(nk)xnkhk2 handelt es sich für h0 um eine Nullfolge

Herleitung der Ableitungsregel für reelle Exponenten

Die Herleitung der Ableitungsregel der Potenzfunktion für reelle Exponenten erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst wird die Gleichung y=xr logarithmiert und mithilfe der Logarithmusgesetze umgestellt. Anschließendes Ableiten mittels impliziter Differentiation unter Zuhilfenahme der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion sowie der Kettenregel liefert die gesuchte Ableitungsregel. Es gilt:

y=xrln(y)=(1)ln(xr)=(2)rln(x)ddx[ln(y)]=(3)ddx[rln(x)]1yddx[y]=(4)r1xddx[y]=(5)r1xy=(6)r1xxr=(7)rxr1ddx[xr]=(8)rxr1
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Logarithmieren der Gleichung
(2)
(3)
  • Implizite Differentiation
  • Ableiten der Gleichung nach der Variable x
(4)
(5)
  • Umstellen nach ddx[y]
(6)
  • Ersetzen von y durch xr gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit xr=y
(7)
(8)
  • Ersetzen von y durch xr gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit xr=y

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:

f(x)=x5

Für die Ableitung der Funktion f(x) ergibt sich:

f(x)=[x5]=5x51=5x4

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:

g(x)=x32

Für die Ableitung der Funktion g(x) ergibt sich:

g(x)=[x32]=32x321=32x52