Potenz (Ableitungsregel)
Die Ableitungsregel der Potenzfunktion kann direkt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten oder mithilfe des Logarithmus und impliziter Differentiation hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.
Ableitungsregel
Die Ableitung der Potenzfunktion ist für alle reellen Zahlen
Für natürliche oder ganzzahlige Exponenten
Herleitung der Ableitungsregel für natürliche Exponenten
Die Herleitung der Ableitungsregel der Potenzfunktion für natürliche Exponenten erfolgt unmittelbar mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Hierbei werden der binomische Lehrsatz sowie die Grenzwertsätze für das Rechnen mit Grenzwerten benötigt. Es gilt:
Erklärungen zu den Schritten | |
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Herleitung der Ableitungsregel für reelle Exponenten
Die Herleitung der Ableitungsregel der Potenzfunktion für reelle Exponenten erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst wird die Gleichung
Erklärungen zu den Schritten | |
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Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:
Für die Ableitung der Funktion
Beispiel 2
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:
Für die Ableitung der Funktion