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Potenz (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Potenzfunktion kann direkt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten oder mithilfe des Logarithmus und impliziter Differentiation hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Ableitungsregel

Die Ableitung der Potenzfunktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit reellen Exponenten $r \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ x^r \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ x^r \Bigr] \\[0.75em] &= r \cdot x^{r-1} \end{align*}

Für natürliche oder ganzzahlige Exponenten $n \in \N$ bzw. $n \in \Z$ wird die Ableitung oft auch wie folgt geschrieben:

\begin{align*} {\Bigl[ x^n \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ x^n \Bigr] \\[0.75em] &= n \cdot x^{n-1} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel für natürliche Exponenten

Die Herleitung der Ableitungsregel der Potenzfunktion für natürliche Exponenten erfolgt unmittelbar mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Hierbei werden der binomische Lehrsatz sowie die Grenzwertsätze für das Rechnen mit Grenzwerten benötigt. Es gilt:

\begin{align} \frac{d}{dx} \Bigl[ x^n \Bigr] &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{{(x+h)}^n - x^n}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\left[ \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}h^k} \right] - x^n}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{x^n + \left[ \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}h^k} \right] - x^n}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{h \cdot \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k-1}}}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k-1}} \right)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( n \cdot x^{n-1} + \sum\limits_{k=2}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k-1}} \right)} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( n \cdot x^{n-1} + h \cdot \sum\limits_{k=2}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k-2}} \right)} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} n \cdot x^{n-1} \end{align}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)
(3)
  • Herausziehen des Summanden für $k=0$ aus dem Summenzeichen
  • Für den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{0}$ gilt
    \[ \binom{n}{0} = 1 \]
(4)
  • Zusammenfassen von $x^n-x^n = 0$
  • Ausklammern des Faktors $h$ aus der Summe
(5)
  • Kürzen des Faktors $h$
(6)
  • Herausziehen des Summanden für $k=1$ aus dem Summenzeichen
  • Für den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{1}$ gilt
    \[ \binom{n}{1} = n \]
(7)
  • Erneutes Ausklammern des Faktors $h$ aus der Summe
(8)
  • Ausrechnen des Grenzwerts
  • Bei $h \cdot \sum\limits_{k=2}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k-2}}$ handelt es sich für $h \rightarrow 0$ um eine Nullfolge

Herleitung der Ableitungsregel für reelle Exponenten

Die Herleitung der Ableitungsregel der Potenzfunktion für reelle Exponenten erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst wird die Gleichung $y = x^r$ logarithmiert und mithilfe der Logarithmusgesetze umgestellt. Anschließendes Ableiten mittels impliziter Differentiation unter Zuhilfenahme der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion sowie der Kettenregel liefert die gesuchte Ableitungsregel. Es gilt:

\begin{align*} y &= x^r \\[1.5em] \Rightarrow \ln(y) &\overset{(1)}{=} \ln\left( x^r \right) \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} r \cdot \ln(x) \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(y) \Bigr] &\overset{(3)}{=} \frac{d}{dx} \Bigl[ r \cdot \ln(x) \Bigr] \\[0.75em] \frac{1}{y} \cdot \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &\overset{(4)}{=} r \cdot \frac{1}{x} \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &\overset{(5)}{=} r \cdot \frac{1}{x} \cdot y \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} r \cdot \frac{1}{x} \cdot x^r \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} r \cdot x^{r-1} \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ x^r \Bigr] &\overset{(8)}{=} r \cdot x^{r-1} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Logarithmieren der Gleichung
(2)
(3)
  • Implizite Differentiation
  • Ableiten der Gleichung nach der Variable $x$
(4)
(5)
  • Umstellen nach $\frac{d}{dx} \bigl[ y \bigr]$
(6)
  • Ersetzen von $y$ durch $x^r$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $x^r = y$
(7)
(8)
  • Ersetzen von $y$ durch $x^r$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $x^r = y$

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = x^5 \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' \\[0.75em] &= 5 \cdot x^{5-1} \\[0.75em] &= 5 \cdot x^4 \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Potenzfunktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = x^{-\frac{3}{2}} \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ x^{-\frac{3}{2}} \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2} - 1} \\[0.75em] &= -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{5}{2}} \end{align*}