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Kosinus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Kosinus-Funktion (abgekürzt: cos) kann direkt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Ableitungsregel

Die Ableitung der Kosinus-Funktion (abgekürzt: cos) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \cos(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \cos(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\sin(x) \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion erfolgt unmittelbar mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Hierbei werden die Additionstheoreme für Kosinus sowie die Grenzwertsätze für das Rechnen mit Grenzwerten benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst und umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \cos(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos(x) \cdot \cos(h) - \sin(x) \cdot \sin(h) - \cos(x)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos(x) \cdot \bigl( \cos(h) - 1 \bigr) - \sin(x) \cdot \sin(h)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos(x) \cdot \bigl( \cos(h) - 1 \bigr)}{h} \right)} - \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\sin(x) \cdot \sin(h)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \cos(x) \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos(h) - 1}{h} \right)} - \sin(x) \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\sin(h)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1 \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} -\sin(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)	Umschreiben von $\cos(x+h)$ mithilfe des Additionstheorems für den Kosinus eines zusammengesetzten Winkels
(3)	Ausklammern von $\cos(x)$ im Zähler
(4)	Aufteilen des Grenzwerts der Differenz auf die Differenz der beiden Grenzwerte
(5)	Herausziehen des von $h$ unabhängigen Faktors $\cos(x)$ aus dem ersten Grenzwert Herausziehen des von $h$ unabhängigen Faktors $\sin(x)$ aus dem zweiten Grenzwert
(6)	Beim Ausdruck $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos(h) - 1}{h} \right)} = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos(0+h) - \cos(0)}{h} \right)}$ handelt es sich um den Grenzwert des Differenzenquotienten der Kosinus-Funktion an der Stelle $0$. Da die Kosinus-Funktion an dieser Stelle ein lokales Maximum besitzt, hat sie dort den Anstieg $0$, d. h., es gilt: $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\cos(h) - 1}{h} \right)} = 0$ Der Grenzwert $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\sin(h)}{h} \right)} = 1$ wird im nachfolgenden Abschnitt näher betrachtet.
(7)	Zusammenfassen

Bestimmung der Grenzwerte

Für die Herleitung der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion wird unter anderem der Grenzwert $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\sin(h)}{h} \right)}$ benötigt. Dieser kann im vorliegenden Fall nicht mithilfe der Regeln von de l'Hospital berechnet werden, da hierfür die Ableitung des Sinus benötigt wird, die zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt ist und folglich nicht verwendet werden kann. Aus diesem Grund wird ein trigonometrischer Ansatz zur Bestimmung des Grenzwerts verwendet. Aufgrund der Achsensymmetrie der Funktion $\frac{\sin(h)}{h}$ genügt es, nichtnegative Werte $h \geq 0$ zu betrachten. Da nur (sehr) kleine Werte von $h$ benötigt werden, reicht es zudem aus, den Bereich $0 \leq h \leq \frac{\pi}{2}$ zu betrachten.

Veranschaulichung von h, sin(h) und tan(h) am Einheitskreis

Für den betrachteten Bereich gelten am Einheitskreis die in der vorausgehenden Grafik dargestellten Zusammenhänge zwischen den Werten $h$, $\sin(h)$ und $\tan(h)$. Es gilt $\sin(h) \leq h$ sowie $h \leq \tan(h)$. Dies kann genutzt werden, um den gesuchten Grenzwert zu bestimmen:

\begin{array}{crcccl} & \sin(h) & \leq & h & \leq & \tan(h) \\[0.75em] \overset{(1)}{\Leftrightarrow} & \sin(h) & \leq & h & \leq & \dfrac{\sin(h)}{\cos(h)} \\[0.75em] \overset{(2)}{\Leftrightarrow} & 1 & \leq &\dfrac{h}{\sin(h)} & \leq &\dfrac{1}{\cos(h)} \\[0.75em] \overset{(3)}{\Leftrightarrow} & 1 & \geq & \dfrac{\sin(h)}{h} & \geq & \cos(h) \\[0.75em] \overset{(4)}{\Leftrightarrow} & \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\bigl( 1 \bigr)}}_{=\ 1} & \geq & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \dfrac{\sin(h)}{h} \right)} & \geq & \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\bigl( \cos(h) \bigr)}}_{=\ 1} \end{array}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Einsetzen der Definition der Tangens-Funktion
(2)	Division durch $\sin(h)$
(3)	Bilden des Kehrwerts
(4)	Bilden und (teilweises) Bestimmen der Grenzwerte

Mit dem Einschließungssatz folgt aus (4) unmittelbar der gesuchte Grenzwert:

\lim\limits_{h \rightarrow \infty}{\left( \frac{\sin(h)}{h} \right)} = 1

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \cos(5x)

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \cos(5x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\sin(5x) \cdot {\Bigl[ 5x \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\sin(5x) \cdot 5 \\[0.75em] &= -5 \cdot \sin(5x) \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \cos\left( x^2 \right)

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \cos\left( x^2 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\sin\left( x^2 \right) \cdot {\Bigl[ x^2 \Bigr]}' \\[0.75em] &= -\sin\left( x^2 \right) \cdot 2x \\[0.75em] &= -2 \cdot \sin\left( x^2 \right) \cdot x \end{align*}