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Fallende Faktorielle

Die fallende Faktorielle (auch fallende Fakultät genannt) ist eine mathematische Funktion, die Ähnlichkeiten zum Potenzieren besitzt, jedoch mit dem wesentlichen Unterschied, dass die Faktoren schrittweise fallen, d. h. in jedem Schritt um den Wert Eins reduziert werden.

Inhalt

Definition
Anwendungen
Rechenregeln
Verallgemeinerung

Definition

Für natürliche Zahlen \(n, k \in \N_0\) mit \(0 \leq k \leq n\) wird die \(\mathbf{k}\)-te fallende Faktorielle von \(\mathbf{n}\) wie folgt definiert:

\begin{align*} n^\underline{k} &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot \overbrace{\bigl( n-(k-1) \bigr)}^{=n-k+1} \\[0.5em] &= \frac{n!}{(n-k)!} \end{align*}

Gelegentlich wird anstelle der Schreibweise \(n^\underline{k}\) auch die Schreibweise \({(n)}_k\) für die fallende Faktorielle verwendet. Die zweite Gleichung beschreibt, wie die fallende Faktorielle mithilfe der Fakultät dargestellt werden kann.

Anwendungen

Abbildungen

Der Wert \(n^\underline{k}\) beschreibt die Anzahl der injektiven Abbildungen \(A \rightarrow B\) einer \(k\)-elementigen Menge \(A\) in eine \(n\)-elementige Menge \(B\).

Kombinatorik

In der Kombinatorik spielen fallende Faktorielle eine wichtige Rolle: Der Wert \(n^\underline{k}\) beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer \(n\)-elementigen Menge genau \(k\)-Elemente auszuwählen – ohne Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge.

Binomialkoeffizienten

Mithilfe von Binomialkoeffizienten kann die Anzahl der Möglichkeiten berechnet werden, aus einer \(n\)-elementige Menge \(k\)-elementige Teilmengen auszuwählen. Die Binomialkoeffizienten können hierbei mithilfe von fallenden Faktoriellen und Fakultäten definiert/berechnet werden.

\binom{n}{k} = \frac{n^\underline{k}}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}

Rechenregeln

Für die fallende Faktorielle gelten die folgenden Rechenregeln:

\begin{align*} n^\underline{0} &= 1 \\[0.5em] n^\underline{1} &= n \\[0.5em] n^\underline{n} &= n! \\[0.5em] n^\underline{k} &= {(-1)}^k \cdot {(-n)}^\overline{k} \\[0.5em] n^\underline{k} &= 0 \quad (\text{für } 0 \leq n \leq k) \end{align*}

Mit \(n^\overline{k}\) ist die steigende Faktorielle bezeichnet.

Verallgemeinerung

Die fallende Faktorielle kann analog zur vorherigen Definition auf eine komplexe Zahl \(z \in \C\) und eine beliebige natürliche Zahl \(k \in \N_0\) erweitert werden. Es gilt

z^\underline{k} = z \cdot (z-1) \cdot (z-2) \cdot \ldots \cdot (z-k+1).