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Abbildung (Funktion)

Bei einer Abbildung oder Funktion handelt es sich um eine auf zwei Mengen definierte Abbildungsvorschrift, die jedem Element der ersten Menge exakt ein Element der zweiten Menge zuordnet.

Inhalt

Definition
Darstellung
Eigenschaften
Operationen
Weitere Eigenschaften

Definition

Grundidee

Bei einer Abbildung oder Funktion $f: A \rightarrow B$ handelt es sich um eine Abbildungsvorschrift, die jedem Element der Menge $A$ exakt ein Element der Menge $B$ zuordnet. Sie kann formal wie folgt geschrieben werden:

\begin{align*} f: A &\rightarrow B \\[0.5em] a &\mapsto b. \end{align*}

Für die Abbildung gelten die folgenden Bezeichnungen:

$f$: der Name der Abbildung;
$A$: die Definitionsmenge;
$B$: die Zielmenge;
$A \rightarrow B$: die Signatur der Abbildung;
$a \mapsto b$: die Abbildungs- bzw. Funktionsvorschrift.

Die Definitionsmenge $A$ wird auch als Definitionsbereich, Urbildmenge oder einfach nur als Urbild bezeichnet. Die Elemente von $A$ werden als Funktionsargumente oder als Urbilder bezeichnet.

Mengentheoretische Definition

Bei einer Abbildung oder Funktion $f: A \rightarrow B$ handelt es sich um eine spezielle Relation, die als eine Menge betrachtet werden kann, die den folgenden Eigenschaften genügt:

Die Menge $f$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A \times B$ der Definitionsmenge $A$ und der Zielmenge $B$, d. h., bei $f$ handelt es sich um eine Relation zwischen den Mengen $A$ und $B$.
Für jedes Element $a$ der Definitionsmenge $A$ existiert mindestens ein Element $b$ der Zielmenge $B$, sodass das geordnete Paar $(a,b)$ ein Element der Relation $f$ ist; $f$ ist somit linkstotal.
Für jedes Element $a$ der Definitionsmenge $A$ existiert höchstens ein Element $b$ der Zielmenge $B$, sodass das geordnete Paar $(a,b)$ ein Element der Relation $f$ ist; $f$ ist somit rechtseindeutig oder funktional.

Die letzten beiden Eigenschaften können alternativ durch die folgende Eigenschaft zusammengefasst werden:

Für jedes Element $a$ der Definitionsmenge $A$ existiert genau ein Element $b$ der Zielmenge $B$, sodass das geordnete Paar $(a,b)$ ein Element der Relation $f$ ist.

Funktionsgraph

Oftmals ist es sinnvoll, die Zielmenge $B$ zu einem Teil der Abbildung zu machen, um beispielsweise Aussagen zu Eigenschaften wie der Surjektivität zu ermöglichen:

Ein Paar $f = (G,B)$, das aus der Zielmenge $B$ sowie einer Menge von Paaren $G \subseteq A \times B$ der Zielmenge mit der Definitionsmenge $A$ besteht, wird Abbildung oder Funktion der Menge $A$ nach $B$ genannt, wenn gilt: Zu jedem Element $a \in A$ existiert genau ein Element $b \in B$, sodass das Paar $(a,b)$ in der Menge $G$ enthalten ist.

Die Menge $G$ wird als Funktionsgraph (oder kurz Graph) der Funktion $f$ bezeichnet und häufig als $G_f$ geschrieben. Die Definitionsmenge $A$ ist durch den Graphen $G$ stets eindeutig bestimmt und setzt sich aus den ersten Komponenten aller Elemente von $G$ zusammen.

Darstellung

Die Abbildungs- bzw. Funktionsvorschrift einer Abbildung kann beispielsweise auf die folgenden Arten dargestellt werden:

grafisch mithilfe eines Pfeildiagramms;
grafisch mithilfe eines Funktionsgraphen;
als Funktionsgleichung mit Definitionsmenge;
als eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitionsmenge;
als eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge;
mithilfe einer Wertetabelle (für endliche, aber auch für abzählbar unendliche Definitionsmengen);
als Relation (bspw. als beschriebene oder aufgezählte Menge);
als Verknüpfungen von bzw. als Operationen auf anderen Funktionen.

Beispiel 1

Gegeben seien zwei Mengen $A = \bigl\{ 1,2,3,4,5 \bigr\}$ und $B = \bigl\{ u,v,w,x,y,z \bigr\}$ sowie eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ mit

\begin{align*} f(1) &= v \\[0.5em] f(2) &= x \\[0.5em] f(3) &= w \\[0.5em] f(4) &= y \\[0.5em] f(5) &= x. \end{align*}

Die Abbildung $f$ kann exemplarisch wie folgt dargestellt werden:

mithilfe eins Pfeildiagramms:
mithilfe einer Wertetabelle: $\begin{array}{c||c|c|c|c|c} A & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[0.5em]\hline B & v & x & w & y & x \end{array}$
als Relation: $f = \Bigl\{ (1,v), (2,x), (3,w), (4,y), (5,x) \Bigr\}$

Beispiel 2

Gegeben sei eine Abbildung $f: \N \rightarrow \N$ mit $x \mapsto x^2$, die jeder natürlichen Zahl ihr Quadrat zuordnet. Die Abbildung kann exemplarisch wie folgt dargestellt werden:

als Funktionsgleichung mit Definitionsmenge: $f(x) = x^2 \quad(\text{für } x \in \mathbb{N})$
als eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitionsmenge: $x \mapsto x^2 \quad(\text{für } x \in \mathbb{N})$
als eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge: $\begin{align*} f: \mathbb{N} &\rightarrow \mathbb{N} \\[0.5em] x &\mapsto x^2 \end{align*}$
mithilfe einer Wertetabelle: $\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots \\[0.5em]\hline f(x) & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & \ldots \end{array}$
als Relation: $\begin{align*} f &= \Bigl\{ (x,x^2) \mid x \in \mathbb{N} \Bigr\} \\[0.5em] &= \Bigl\{ (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), \ldots \Bigr\} \end{align*}$

Eigenschaften

Bild und Urbild

Gegeben sei eine Abbildung $f: A \rightarrow B$. Dann gilt:

Beim Bild eines Elements $a \in A$ handelt es sich um den Funktionswert $f(a) \in B$.
Beim Bild der Abbildung bzw. Funktion handelt es sich um die Menge der Bilder aller Elemente $a \in A$; es gilt also $f(A) = \Bigl\{ f(a) \mid a \in A \Bigr\} \subseteq B.$ Beim Bild $f(A)$ handelt es sich folglich um eine Teilmenge der Zielmenge $B$, die Bild- oder Wertebereich genannt wird.
Ist $S \subseteq A$ eine Teilmenge der Definitionsmenge $A$, dann handelt es sich bei $f(S) = \Bigl\{ f(a) \mid a \in S \Bigr\} \subseteq B.$ um das Bild von $\mathbf{S}$ unter der Abbildung $\mathbf{f}$.
Beim Urbild eines Elements $b \in B$ der Zielmenge handelt es sich um die Menge aller Elemente der Definitionsmenge $A$, deren Bild das Element $b$ ist; es gilt $f^{-1}(b) = \Bigl\{ a \in A \mid f(a) = b \Bigr\} \subseteq A.$
Beim Urbild einer Teilmenge $T \subseteq B$ der Zielmenge handelt es sich um die Menge aller Elemente, die auf eines der Elemente aus $T$ abgebildet werden; es gilt $f^{-1}(T) = \Bigl\{ a \in A \mid f(a) \in T \Bigr\} \subseteq A.$

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Hauptartikel: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ heißt

injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat, wenn also gilt:
- Aus $f(a_1) = f(a_2)$ folgt stets $a_1 = a_2$.
- Alternativ: Aus $a_1 \neq a_2$ folgt stets $f(a_1) \neq f(a_2)$.
surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat, wenn also gilt:
- Zu jedem $b \in B$ existiert (mindestens) ein $a \in A$ mit $f(a) = b$.
bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.

Stelligkeit

Eine Abbildung $f: A \rightarrow B$ heißt

nullstellig, wenn es sich bei der Definitionsmenge $A = \bigl\{ \emptyset \bigr\}$ um das leere Produkt handelt.
einstellig bzw. unär, wenn es sich bei der Definitionsmenge $A$ nicht um das kartesische Produkt mehrerer Mengen handelt – oder wenn die Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt.
zweistellig bzw. binär, wenn es sich bei der Definitionsmenge $A = A_1 \times A_2$ um das kartesische Produkt zweier Mengen $A_1$ und $A_2$ handelt.
dreistellig bzw. ternär, wenn es sich bei der Definitionsmenge $A = A_1 \times A_2 \times A_3$ um das kartesische Produkt dreier Mengen $A_1$, $A_2$ und $A_3$ handelt.
n-stellig bzw. n-är, wenn es sich bei der Definitionsmenge $A = A_1 \times \ldots \times A_n$ um das kartesische Produkt von $n$ Mengen $A_1,\ldots,A_n$ handelt.

Hinweise:

Die Mengen $A_1, A_2, \ldots, A_n$ müssen nicht notwendigerweise verschieden sein.
Anstelle von $f\bigl((a_1,\ldots,a_n)\bigr)$ wird häufig vereinfachend die Schreibweise $f(a_1,\ldots,a_n)$ verwendet.

Menge der Funktionen

Mit $\operatorname{Abb}(A,B)$, $B^A$ oder $[A \rightarrow B]$ wird die Menge aller Abbildungen von $A$ nach $B$ bezeichnet; es gilt:

\operatorname{Abb}(A,B) = \Bigl\{ f \mid f: A \rightarrow B \Bigr\}.

Für die Mächtigkeit der Menge $\operatorname{Abb}(A,B)$ gilt:

|\operatorname{Abb}(A,B)| = {|B|}^{|A|}.

Operationen

Einschränkung

Bei der Einschränkung einer Abbildung $f: A \rightarrow B$ auf eine Teilmenge $C \subseteq A$ der Definitionsmenge handelt es sich um die Abbildung $\left.f\right|_C : C \rightarrow B$, deren Graph durch

\begin{align*} G_{\left.f\right|_C} &= G_f \cap (C \times B) \\[0.5em] &= \Bigl\{ (c,b) \in G_f \mid c \in C \Bigr\} \end{align*}

gegeben ist.

Umkehrfunktion

Hauptartikel: Umkehrfunktion

Bei der Umkehrfunktion $f^{-1}: B \rightarrow A$ einer bijektiven Funktion $f: A \rightarrow B$ handelt es sich um die Funktion

\begin{align*} f^{-1}: B &\rightarrow A \\[0.5em] b &\rightarrow f^{-1}(b), \end{align*}

wobei $f^{-1}(b)$ das eindeutig bestimmte Element $a \in A$ ist, für das $f(a)=b$ gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt somit für alle Elemente $a \in A$ der Definitionsmenge die folgende Eigenschaft:

f^{-1}\bigl(f(a)\bigr) = a.

Als Konsequenz hieraus werden bijektive Funktionen auch eineindeutige bzw. eindeutig umkehrbare Funktionen genannt.

Verkettung

Hauptartikel: Komposition

Gegeben seien zwei Funktionen $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$, bei denen die Zielmenge der Funktion $f$ mit der Definitionsmenge der Funktion $g$ übereinstimmt. Bei der Verkettung, Komposition oder Nacheinanderausführung der Funktionen $g$ und $f$ handelt es sich um die Funktion

\begin{align*} g \circ f: A &\rightarrow C \\[0.5em] a &\mapsto (g \circ f)(a) \end{align*}

mit $(g \circ f)(a) = g(f(a))$, bei der zunächst die Funktion $f$ und anschließend die Funktion $g$ ausgeführt wird ($g$ nach $f$).

Weitere Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Für eine Funktion $f: A \rightarrow B$ gelten unter anderem die folgenden algebraischen Eigenschaften:

Die Funktion $f$ heißt idempotent, falls $f \circ f = f$ gilt – falls also $f(f(a)) = f(a)$ für alle Elemente $a \in A$ der Definitionsmenge gilt.
Die Funktion $f$ heißt Involution, falls $f \circ f = \id$ gilt – falls also $f(f(a)) = a$ für alle Elemente $a \in A$ der Definitionsmenge gilt. Mit $\id$ ist hierbei die Identität bezeichnet.
Ein Element $a \in A$ der Definitionsmenge wird Fixpunkt von $f$ genannt, falls $f(a) = a$ gilt.

Analytische Eigenschaften

Für eine Funktion $f: A \rightarrow B$ existieren unter anderem die folgenden analytischen Eigenschaften: