Verknüpfung

Eine Verknüpfung ist eine Abbildung, die (mehrere) Elemente zu einem neuen Element verknüpft. Die verknüpften Elemente werden hierbei als Operanden bezeichnet; die Verknüpfung selbst wird Operation genannt.

Definitionen

n-stellige Verknüpfung

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n\), Mengen \(A_1,\ldots,A_n\) und \(B\) sowie eine Abbildung \(\star: A_1 \times \ldots \times A_n \rightarrow B\), die die Elemente des kartesischen Produkts \(A_1 \times \ldots \times A_n\) auf die Elemente aus \(B\) abbildet. Die Abbildung \(\star\) wird \(\mathbf{n}\)-stellige Verknüpfung genannt und darüber hinaus

• als innere \(\mathbf{n}\)-stellige Verknüpfung bezeichnet, falls \(A_1=\ldots=A_n=B\) gilt, falls also alle Mengen übereinstimmen;
• als äußere \(\mathbf{n}\)-stellige Verknüpfung bezeichnet, falls mindestens eine der Mengen \(A_i\) (für \(1 \leq i \leq n\)) mit der Menge \(B\) übereinstimmt, falls also \(A_i=B\) gilt.

Innere n-stellige Verknüpfung

Eine innere \(\mathbf{n}\)-stellige Verknüpfung auf einer Menge \(A\) ist eine \(n\)-stellige Abbildung \(\star: A \times \ldots \times A \rightarrow A\), die jedem \(n\)-stelligen Tupel des kartesischen Produkts \(A \times \ldots \times A\) ein Element der Menge \(A\) zuordnet. Die Menge \(A\) ist bezüglich der Verknüpfung \(\star\) abgeschlossen.

Die Bezeichnung innere \(n\)-stellige Verknüpfung rührt daher, dass die Verknüpfung \(\star\) vollständig innerhalb der Menge \(A\) stattfindet: Es werden Elemente der Menge \(A\) zu einem Element derselben Menge \(A\) verknüpft.

Äußere n-stellige Verknüpfung

Bei einer äußeren \(\mathbf{n}\)-stelligen Verknüpfung auf der Menge \(A\) handelt es sich um eine Abbildung \(\star: A_1 \times \ldots \times A_n \rightarrow A\), bei der mindestens eine der Mengen \(A_1,\ldots,A_n\) mit der Menge \(A\) übereinstimmt.

Da es sich bei den Mengen \(A_1,\ldots,A_n\) nicht zwingend um Teilmengen der Menge \(A\) handelt – und somit die Abbildung \(\star\) die Elemente der Menge \(A\) mit Elementen außerhalb der Menge \(A\) verknüpft – wird von einer äußeren \(n\)-stelligen Verknüpfung gesprochen.

Einstellige Verknüpfung

Hauptartikel: Einstellige Verknüpfung

Bei einer einstelligen Verknüpfung (auch unäre Verknüpfung) handelt es sich um eine Abbildung \(\star: A \rightarrow B\), die die Elemente einer Menge \(A\) auf die Elemente einer Menge \(B\) abbildet.

Beispiele

• Bei der Negation handelt es sich um eine einstellige Verknüpfung.
• Bei der Fakultät einer natürlichen Zahl handelt es sich um eine einstellige Verknüpfung.
• Beim Komplement einer Menge handelt es sich um eine einstellige Verknüpfung.

Zweistellige Verknüpfung

Hauptartikel: Zweistellige Verknüpfung

Bei einer zweistelligen Verknüpfung (auch binäre Verknüpfung) handelt es sich um eine Abbildung \(\star: A \times B \rightarrow C\), die die Elemente des kartesischen Produkts \(A \times B\) auf die Elemente einer Menge \(C\) abbildet.

Beispiele

• Bei den arithmetischen Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division handelt es sich um zweistellige Verknüpfungen.

Dreistellige Verknüpfung

Bei einer dreistelligen Verknüpfung (auch ternäre Verknüpfung) handelt es sich um eine Abbildung \(\star: A \times B \times C \rightarrow D\), die die Elemente des kartesischen Produkts \(A \times B \times C\) auf die Elemente einer Menge \(D\) abbildet.

Beispiele

• Die Abbildung, die je drei Vektoren des \(\R^3\) ihr Spatprodukt zuordnet, ist eine dreistellige Verknüpfung.