Die Äquivalenzklasse \({\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) repräsentiert hierbei konzeptuell die ganze Zahl, die sich als Differenz \(a-b\) ergibt.
Addition von ganzen Zahlen
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen als Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \N\)):
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen (mit \(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \N\)), die durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) dargestellt werden:
Die Gleichheit \((b_1+b_2)+b_3=b_1+(b_2+b_3)\) gilt aufgrund der Assoziativität der Addition von natürlichen Zahlen
(5)
Aufteilen der Summe \(n_1 \oplus \bigl(n_2 \oplus n_3\bigr)\) auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von ganzen Zahlen
(6)
Aufteilen der Summe \(n_2 \oplus n_3\) auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von ganzen Zahlen
(7)
Ersetzen der Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) durch die ganzen Zahlen \(n_1\), \(n_2\) und \(n_3\)
Kommutativität
Die Addition von ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\) ist kommutativ; es gilt:
\[ n_1 \oplus n_2 = n_2 \oplus n_1. \]
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \N\)), die durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) dargestellt werden:
Die Gleichheit \(b_1+b_2=b_2+b_1\) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen
(4)
Aufteilen der Summe \(n_2 \oplus n_1\) auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von ganzen Zahlen
(5)
Ersetzen der Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) durch die ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\)
Neutrales Element
Die ganze Zahl \(0 = {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim\) ist das neutrale Element der Addition von ganzen Zahlen; es gilt:
\[ 0 \oplus n = n = n \oplus 0. \]
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen (mit \(a,b \in \N\)), die durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) dargestellt werden:
\begin{align*} n &= {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] 0 &= {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim. \end{align*}
Die ganze Zahl \(0\) ist linksneutral bezüglich der Addition, denn es gilt:
\begin{align*} 0 \oplus n &\overset{(1)}{=} {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim \oplus {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl[(1+a,1+b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} n. \end{align*}
Analog kann gezeigt werden, dass die ganze Zahl \(0\) bezüglich der Addition ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Addition von ganzen Zahlen:
\begin{align*} n \oplus 0 &\overset{(1)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \oplus {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl[(a+1,b+1)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} n. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
Ersetzen der ganzen Zahlen \(n\) und \(0\) durch die entsprechenden Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\)
(2)
Ausrechnen von \(0 \oplus n\) bzw. \(n \oplus 0\) gemäß Definition der Addition von ganzen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \({\bigl[(1+a,1+b)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) bzw. \({\bigl[(a+1,b+1)\bigr]}_\sim={\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) gilt aufgrund der Definition der Relation \(\sim\), denn es gilt \(1+a+b = a+1+b\) bzw. \(a+1+b = a+b+1\)
Ersetzen der Äquivalenzklasse der Relation \(\sim\) durch die ganze Zahl \(n\)
Hinweis: Werden die ganzen Zahlen mithilfe der Menge \(\N_0\) definiert, so kann das additive neutrale Element vereinfachend als \(0 = {\bigl[(0,0)\bigr]}_\sim\) dargestellt werden.
Inverses Element
Das inverse Element einer ganzen Zahl \(n={[(a,b)]}_\sim\) bezüglich der Addition von ganzen Zahlen ist die ganze Zahl \(-n={[(b,a)]}_\sim\); es gilt:
\[ (-n) \oplus n = 0 = n \oplus (-n). \]
Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen (mit \(a,b \in \N\)), die durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) dargestellt werden:
\begin{align*} n &= {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] -n &= {\bigl[(b,a)\bigr]}_\sim. \end{align*}
Die ganze Zahl \(-n\) ist bezüglich der Addition linksinvers zur ganzen Zahl \(n\), denn es gilt:
Ersetzen der ganzen Zahlen \(n\) und \(-n\) durch die entsprechenden Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\)
(2)
Ausrechnen von \((-n) \oplus n\) bzw. \(n \oplus (-n)\) gemäß Definition der Addition von ganzen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \({\bigl[(b+a,a+b)\bigr]}_\sim = {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim\) bzw. \({\bigl[(a+b,b+a)\bigr]}_\sim={\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim\) gilt aufgrund der Definition der Relation \(\sim\), denn es gilt \(b+a+1 = 1+a+b\) bzw. \(a+b+1 = 1+b+a\)
Ersetzen der Äquivalenzklasse \({\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim\) durch die ganze Zahl \(0\)
Nachweis der Wohldefiniertheit
Für die formale Definition der Addition von ganzen Zahlen ist es notwendig, dass diese wohldefiniert ist, d. h., dass das Ergebnis lediglich von den verknüpften Äquivalenzklassen, aber nicht von den konkreten Repräsentanten der Äquivalenzklassen abhängt.
Die Wohldefiniertheit der ganzzahligen Addition kann wie folgt gezeigt werden: Gegeben seien natürliche Zahlen \(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,d_1,d_2 \in \N\). Es gelte \((a_1,b_1) \sim (a_2,b_2)\) sowie \((c_1,d_1) \sim (c_2,d_2)\). Gemäß der Definition der Relation \(\sim\) gelten somit die folgenden Gleichheiten:
Ersetzen von \(a_1+b_2 = a_2+b_1\) gemäß Gleichung (I)
Ersetzen von \(c_1+d_2 = c_2+d_1\) gemäß Gleichung (II)
(3)
Umsortieren der Summanden mithilfe der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen
Gemäß der Definition der Relation \(\sim\) folgt aus (3) unmittelbar \((a_1+c_1,b_1+d_1) \sim (a_2+c_2,b_2+d_2)\) und somit die Wohldefiniertheit der Addition.
