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Monoidhomomorphismus

Bei einem Monoidhomomorphismus handelt es sich um einen Homomorphismus (also um eine strukturerhaltende Abbildung) zwischen zwei Monoiden.

Definitionen

(Monoid-)Homomorphismus

Gegeben seien zwei Monoide $\mathcal{M}_1 = \bigl(M_1,\star\bigr)$ und $\mathcal{M}_2 = \bigl(M_2,\diamond\bigr)$. Eine Abbildung $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ wird (Monoid-)Homomorphismus genannt, wenn sie strukturerhaltend ist, d. h., wenn für alle Elemente $a,b \in M_1$ stets die folgende Eigenschaft gilt:

\[ \varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b). \]

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden.

Bild und Kern

Beim Bild eines Monoidhomomorphismus $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ handelt es sich um die Bildmenge von $M_1$ unter $\varphi$, also um die Menge der Elemente aus $M_2$, auf die die Elemente aus $M_1$ abgebildet werden:

\[ \operatorname{Bild}(\varphi) = \operatorname{im}(\varphi) = \varphi(M_1) = \Bigl\{ \varphi(a) \mid a \in M_1 \Bigr\}. \]

Beim Kern eines Monoidhomomorphismus $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ handelt es sich um die Elemente aus $M_1$, die auf das neutrale Element $e_\diamond \in M_2$ abgebildet werden:

\[ \operatorname{Kern}(\varphi) = \operatorname{ker}(\varphi) = \varphi^{-1}(e_\diamond) = \Bigl\{ a \in M_1 \mid \varphi(a) = e_\diamond \Bigr\}. \]

Es gilt $\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq M_2$ und $\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq M_1$. Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\varphi$ nur das neutrale Element $e_\star \in M_1$ enthält, und genau dann surjektiv, wenn $\operatorname{Bild}(\varphi) = M_2$ gilt. Es handelt sich beim Bild von $\varphi$ um eine Untermonoid des Monoids $\mathcal{M}_2$.

Verkettung von Monoidhomomorphismen

Handelt es sich bei $\varphi_1: M_1 \rightarrow M_2$ und bei $\varphi_2: M_2 \rightarrow M_3$ um zwei Monoidhomomorphismen, so handelt es sich bei ihrer Komposition $\varphi_2 \circ \varphi_1: M_1 \rightarrow M_3$ ebenfalls um einen Monoidhomomorphismus.

Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Monoidhomomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.

Eigenschaften

Neutrales Element

Gemäß der Definition eines Monoidhomomorphismus $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ gilt für alle $a \in M_1$ und das neutrale Element $e_\star \in M_1$ stets

\begin{align*} \varphi(a) &= \varphi(a \star e_\star) = \varphi(a) \diamond \varphi(e_\star) \\[0.5em] \varphi(a) &= \varphi(e_\star \star a) = \varphi(e_\star) \diamond \varphi(a). \end{align*}

Das Element $\varphi(e_\star) \in M_2$ ist folglich sowohl linksneutral als auch rechtsneutral (und somit neutral) bezüglich der Verknüpfung $\diamond$.

In Worten: Das neutrale Element von $\mathcal{M}_1$ wird auf das neutrale Element von $\mathcal{M}_2$ abgebildet.

Arten von Monoidhomomorphismen

(Monoid-)Monomorphismus

Ein Monoidhomomorphismus $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ wird (Monoid-)Monomorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ injektiv ist.

(Monoid-)Epimorphismus

Ein Monoidhomomorphismus $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ wird (Monoid-)Epimorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ surjektiv ist.

(Monoid-)Isomorphismus

Ein Monoidhomomorphismus $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ wird (Monoid-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ bijektiv ist.

Ist $\varphi: M_1 \rightarrow M_2$ ein Monoidisomorphismus, so ist auch die Umkehrfunktion $\varphi^{-1}: M_2 \rightarrow M_1$ ein Monoidisomorphismus und die Monoide werden isomorph genannt. Sie stimmen für nahezu alle Zwecke überein und unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente.

(Monoid-)Endomorphismus

Ein Monoidhomomorphismus $\varphi: M \rightarrow M$ eines Monoids in sich selbst wird (Monoid-)Endomorphismus genannt.

(Monoid-)Automorphismus

Ein Monoidhomomorphismus $\varphi: M \rightarrow M$ eines Monoids in sich selbst wird (Monoid-)Automorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ bijektiv ist.

Beispiele

Triviale Beispiele

  • Für beliebige Monoide $\mathcal{M}_1 = \bigl(M_1,\star\bigr)$ und $\mathcal{M}_2 = \bigl(M_2,\diamond\bigr)$ handelt es sich bei der Nullabbildung, die alle Elemente aus $M_1$ auf das neutrale Element $e_\diamond \in M_2$ abbildet, um einen Monoidhomomorphismus. Sein Kern umfasst ganz $M_1$.
  • Für ein beliebiges Monoid $\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)$ handelt es sich bei der identischen Abbildung $\id_M: M \rightarrow M$ mit $\id_M(a)=a$ um einen Monoidisomorphismus.

Nichttriviale Beispiele