Gruppenhomomorphismus
Bei einem Gruppenhomomorphismus handelt es sich um einen Homomorphismus (also um eine strukturerhaltende Abbildung) zwischen zwei Gruppen.
Definitionen
(Gruppen-)Homomorphismus
Gegeben seien zwei Gruppen $\mathcal{G}_1 = \bigl(G_1,\star\bigr)$ und $\mathcal{G}_2 = \bigl(G_2,\diamond\bigr)$. Eine Abbildung $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ wird (Gruppen-)Homomorphismus genannt, wenn sie strukturerhaltend ist, d. h., wenn für alle Elemente $a,b \in G_1$ stets die folgende Eigenschaft gilt:
In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden.
Die Menge aller Gruppenhomomorphismen von $\mathcal{G}_1$ nach $\mathcal{G}_2$ wird mit $\operatorname{Hom}(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2)$ bezeichnet.
Bild und Kern
Beim Bild eines Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ handelt es sich um die Bildmenge von $G_1$ unter $\varphi$, also um die Menge der Elemente aus $G_2$, auf die die Elemente aus $G_1$ abgebildet werden:
Beim Kern eines Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ handelt es sich um die Elemente aus $G_1$, die auf das neutrale Element $e_\diamond \in G_2$ abgebildet werden:
Es gilt $\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq G_2$ und $\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq G_1$. Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\varphi$ nur das neutrale Element $e_\star \in G_1$ enthält, und genau dann surjektiv, wenn $\operatorname{Bild}(\varphi) = G_2$ gilt. Es handelt sich beim Bild von $\varphi$ um eine Untergruppe der Gruppe $\mathcal{G}_2$.
Verkettung von Gruppenhomomorphismen
Handelt es sich bei $\varphi_1: G_1 \rightarrow G_2$ und bei $\varphi_2: G_2 \rightarrow G_3$ um zwei Gruppenhomomorphismen, so handelt es sich bei ihrer Komposition $\varphi_2 \circ \varphi_1: G_1 \rightarrow G_3$ ebenfalls um einen Gruppenhomomorphismus.
Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Gruppenhomomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.
Punktweise Addition von Gruppenhomomorphismen
Gegeben seien eine Gruppe $\mathcal{G}_1 = \bigl(G_1,\star\bigr)$ sowie eine kommutative Gruppe $\mathcal{G}_2 = \bigl(G_2,\diamond\bigr)$. Für alle $\varphi_1,\varphi_2 \in \operatorname{Hom}(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2)$ und alle $a \in G_1$ kann eine punktweise Addition wie folgt definiert werden:
Die Menge $\operatorname{Hom}(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2)$ aller Gruppenhomomorphismen $G_1 \rightarrow G_2$ bildet gemeinsam mit der punktweisen Addition eine kommutative Gruppe. Die Kommutativität von $\mathcal{G}_2$ ist zwingend erforderlich, damit es sich bei $\varphi_1+\varphi_2$ selbst wieder um einen Gruppenhomomorphismus handelt; es gilt:
Bei (1) und (4) wird die Definition der punktweisen Addition verwendet, bei (2) die Definition eines Homomorphismus und bei (3) die Kommutativität in $\mathcal{G}_2$.
Eigenschaften
Neutrales Element
Gemäß der Definition eines Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ gilt für alle $a \in G_1$ und das neutrale Element $e_\star \in G_1$ stets
Das Element $\varphi(e_\star) \in G_2$ ist folglich sowohl linksneutral als auch rechtsneutral (und somit neutral) bezüglich der Verknüpfung $\diamond$.
In Worten: Das neutrale Element von $\mathcal{G}_1$ wird auf das neutrale Element von $\mathcal{G}_2$ abgebildet.
Inverse Elemente
Gemäß der Definition eines Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ gilt für alle $a \in G_1$, die dazu inversen Elemente $a^{-1} \in G_1$ und die neutralen Elemente $e_\star \in G_1$ und $e_\diamond \in G_2$ stets
Das Element $\varphi(a^{-1}) \in G_2$ ist folglich sowohl linksinvers als auch rechtsinvers (und somit invers) zum Element $\varphi(a) \in G_2$.
In Worten: Die inversen Elemente in $\mathcal{G}_1$ werden auf die inversen Elemente in $\mathcal{G}_2$ abgebildet.
Arten von Gruppenhomomorphismen
(Gruppen-)Monomorphismus
Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ wird (Gruppen-)Monomorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ injektiv ist.
(Gruppen-)Epimorphismus
Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ wird (Gruppen-)Epimorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ surjektiv ist.
(Gruppen-)Isomorphismus
Hauptartikel: Gruppenisomorphismus
Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ wird (Gruppen-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ bijektiv ist.
Ist $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ ein Gruppenisomorphismus, so ist auch die Umkehrfunktion $\varphi^{-1}: G_2 \rightarrow G_1$ ein Gruppenisomorphismus und die Gruppen werden isomorph genannt. Sie stimmen für nahezu alle Zwecke überein und unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente.
(Gruppen-)Endomorphismus
Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G \rightarrow G$ einer Gruppe in sich selbst wird (Gruppen-)Endomorphismus genannt.
Die Menge der Gruppenendomorphismen einer Gruppe $\mathcal{G}$ bildet gemeinsam mit der Komposition $\circ$ ein Monoid.
Die Menge der Gruppenendomorphismen einer kommutativen Gruppe $\mathcal{G}$ bildet gemeinsam mit der punktweisen Addition eine Gruppe, die als Endomorphismengruppe $\operatorname{End}(\mathcal{G})$ von $\mathcal{G}$ bezeichnet wird. Gemeinsam mit der Komposition $\circ$ bildet $\operatorname{End}(\mathcal{G})$ sogar einen Ring, der als Endomorphismenring von $\mathcal{G}$ bezeichnet wird.
(Gruppen-)Automorphismus
Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G \rightarrow G$ einer Gruppe in sich selbst wird (Gruppen-)Automorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ bijektiv ist.
Die Menge der Gruppenautomorphismen einer Gruppe $\mathcal{G}$ bildet gemeinsam mit der Komposition $\circ$ eine Gruppe, die als Automorphismengruppe $\operatorname{Aut}(\mathcal{G})$ von $\mathcal{G}$ bezeichnet wird.
Beispiele
Triviale Beispiele
- Für beliebige Gruppen $\mathcal{G}_1 = \bigl(G_1,\star\bigr)$ und $\mathcal{G}_2 = \bigl(G_2,\diamond\bigr)$ handelt es sich bei der Nullabbildung, die alle Elemente aus $G_1$ auf das neutrale Element $e_\diamond \in G_2$ abbildet, um einen Gruppenhomomorphismus. Sein Kern umfasst ganz $G_1$.
- Für eine beliebige Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ handelt es sich bei der identischen Abbildung $\id_G: G \rightarrow G$ mit $\id_G(a)=a$ um einen Gruppenisomorphismus.
Nichttriviale Beispiele
- Bei der Exponentialfunktion handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven Gruppe $\bigl(\R,+\bigr)$ der reellen Zahlen $\R$ und der multiplikativen Gruppe $\bigl(\R \setminus \{0\},\cdot \bigr)$ der reellen Zahlen ohne Null; es gilt: \[ e^{x+y}=e^x \cdot e^y. \]Diese Abbildung ist injektiv; es handelt sich also um einen Gruppenmonomorphismus. Ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen.
- Bei der Abbildung, die jeder invertierbaren $n \times n$ Matrix ihre Determinante zuordnet, handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus $\operatorname{GL}(n,\R) \rightarrow \bigl(\R \setminus \{0\},\cdot\bigr)$.
- Bei der Abbildung, die jeder Permutation ihr Vorzeichen zuordnet, handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus $\mathcal{S}_n \rightarrow \bigl(\{-1,1\},\cdot\bigr)$. Diese Abbildung ist surjektiv; es handelt sich also um einen Gruppenepimorphismus.