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Gruppenhomomorphismus

Bei einem Gruppenhomomorphismus handelt es sich um einen Homomorphismus (also um eine strukturerhaltende Abbildung) zwischen zwei Gruppen.

Inhalt

Definitionen
Eigenschaften
Arten von Gruppenhomomorphismen
Beispiele

Definitionen

(Gruppen-)Homomorphismus

Gegeben seien zwei Gruppen $\mathcal{G}_1 = \bigl(G_1,\star\bigr)$ und $\mathcal{G}_2 = \bigl(G_2,\diamond\bigr)$. Eine Abbildung $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ wird (Gruppen-)Homomorphismus genannt, wenn sie strukturerhaltend ist, d. h., wenn für alle Elemente $a,b \in G_1$ stets die folgende Eigenschaft gilt:

\varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b).

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden.

Die Menge aller Gruppenhomomorphismen von $\mathcal{G}_1$ nach $\mathcal{G}_2$ wird mit $\operatorname{Hom}(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2)$ bezeichnet.

Bild und Kern

Beim Bild eines Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ handelt es sich um die Bildmenge von $G_1$ unter $\varphi$, also um die Menge der Elemente aus $G_2$, auf die die Elemente aus $G_1$ abgebildet werden:

\operatorname{Bild}(\varphi) = \operatorname{im}(\varphi) = \varphi(G_1) = \Bigl\{ \varphi(a) \mid a \in G_1 \Bigr\}.

Beim Kern eines Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ handelt es sich um die Elemente aus $G_1$, die auf das neutrale Element $e_\diamond \in G_2$ abgebildet werden:

\operatorname{Kern}(\varphi) = \operatorname{ker}(\varphi) = \varphi^{-1}(e_\diamond) = \Bigl\{ a \in G_1 \mid \varphi(a) = e_\diamond \Bigr\}.

Es gilt $\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq G_2$ und $\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq G_1$. Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\varphi$ nur das neutrale Element $e_\star \in G_1$ enthält, und genau dann surjektiv, wenn $\operatorname{Bild}(\varphi) = G_2$ gilt. Es handelt sich beim Bild von $\varphi$ um eine Untergruppe der Gruppe $\mathcal{G}_2$.

Verkettung von Gruppenhomomorphismen

Handelt es sich bei $\varphi_1: G_1 \rightarrow G_2$ und bei $\varphi_2: G_2 \rightarrow G_3$ um zwei Gruppenhomomorphismen, so handelt es sich bei ihrer Komposition $\varphi_2 \circ \varphi_1: G_1 \rightarrow G_3$ ebenfalls um einen Gruppenhomomorphismus.

Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Gruppenhomomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.

Punktweise Addition von Gruppenhomomorphismen

Gegeben seien eine Gruppe $\mathcal{G}_1 = \bigl(G_1,\star\bigr)$ sowie eine kommutative Gruppe $\mathcal{G}_2 = \bigl(G_2,\diamond\bigr)$. Für alle $\varphi_1,\varphi_2 \in \operatorname{Hom}(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2)$ und alle $a \in G_1$ kann eine punktweise Addition wie folgt definiert werden:

(\varphi_1 + \varphi_2)(a) = \varphi_1(a) \diamond \varphi_2(a).

Die Menge $\operatorname{Hom}(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2)$ aller Gruppenhomomorphismen $G_1 \rightarrow G_2$ bildet gemeinsam mit der punktweisen Addition eine kommutative Gruppe. Die Kommutativität von $\mathcal{G}_2$ ist zwingend erforderlich, damit es sich bei $\varphi_1+\varphi_2$ selbst wieder um einen Gruppenhomomorphismus handelt; es gilt:

\begin{align*} (\varphi_1 + \varphi_2)(a \star b) &\overset{(1)}{=} \varphi_1(a \star b) \diamond \varphi_2(a \star b) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \varphi_1(a)\diamond\varphi_1(b) \diamond \varphi_2(a)\diamond\varphi_2(b) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \varphi_1(a)\diamond\varphi_2(a) \diamond \varphi_1(b)\diamond\varphi_2(b) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} (\varphi_1 + \varphi_2)(a) \diamond (\varphi_1 + \varphi_2)(b) \end{align*}

Bei (1) und (4) wird die Definition der punktweisen Addition verwendet, bei (2) die Definition eines Homomorphismus und bei (3) die Kommutativität in $\mathcal{G}_2$.

Eigenschaften

Neutrales Element

Gemäß der Definition eines Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ gilt für alle $a \in G_1$ und das neutrale Element $e_\star \in G_1$ stets

\begin{align*} \varphi(a) &= \varphi(a \star e_\star) = \varphi(a) \diamond \varphi(e_\star) \\[0.5em] \varphi(a) &= \varphi(e_\star \star a) = \varphi(e_\star) \diamond \varphi(a). \end{align*}

Das Element $\varphi(e_\star) \in G_2$ ist folglich links- und rechtsneutral (und somit neutral) bezüglich der Verknüpfung $\diamond$.

In Worten: Das neutrale Element von $\mathcal{G}_1$ wird auf das neutrale Element von $\mathcal{G}_2$ abgebildet.

Inverse Elemente

Gemäß der Definition eines Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ gilt für alle $a \in G_1$, die dazu inversen Elemente $a^{-1} \in G_1$ und die neutralen Elemente $e_\star \in G_1$ und $e_\diamond \in G_2$ stets

\begin{align*} e_\diamond = \varphi(e_\star) &= \varphi(a \star a^{-1}) = \varphi(a) \diamond \varphi(a^{-1}) \\[0.5em] e_\diamond = \varphi(e_\star) &= \varphi(a^{-1} \star a) = \varphi(a^{-1}) \diamond \varphi(a). \end{align*}

Das Element $\varphi(a^{-1}) \in G_2$ ist folglich links- und rechtsinvers (und somit invers) zum Element $\varphi(a) \in G_2$.

In Worten: Die inversen Elemente in $\mathcal{G}_1$ werden auf die inversen Elemente in $\mathcal{G}_2$ abgebildet.

Arten von Gruppenhomomorphismen

(Gruppen-)Monomorphismus

Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ wird (Gruppen-)Monomorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ injektiv ist.

(Gruppen-)Epimorphismus

Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ wird (Gruppen-)Epimorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ surjektiv ist.

(Gruppen-)Isomorphismus

Hauptartikel: Gruppenisomorphismus

Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ wird (Gruppen-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ bijektiv ist.

Ist $\varphi: G_1 \rightarrow G_2$ ein Gruppenisomorphismus, so ist auch die Umkehrfunktion $\varphi^{-1}: G_2 \rightarrow G_1$ ein Gruppenisomorphismus und die Gruppen werden isomorph genannt. Sie stimmen für nahezu alle Zwecke überein und unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente.

(Gruppen-)Endomorphismus

Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G \rightarrow G$ einer Gruppe in sich selbst wird (Gruppen-)Endomorphismus genannt.

Die Menge der Gruppenendomorphismen einer Gruppe $\mathcal{G}$ bildet gemeinsam mit der Komposition $\circ$ ein Monoid.

Die Menge der Gruppenendomorphismen einer kommutativen Gruppe $\mathcal{G}$ bildet gemeinsam mit der punktweisen Addition eine Gruppe, die als Endomorphismengruppe $\operatorname{End}(\mathcal{G})$ von $\mathcal{G}$ bezeichnet wird. Gemeinsam mit der Komposition $\circ$ bildet $\operatorname{End}(\mathcal{G})$ sogar einen Ring, der als Endomorphismenring von $\mathcal{G}$ bezeichnet wird.

(Gruppen-)Automorphismus

Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi: G \rightarrow G$ einer Gruppe in sich selbst wird (Gruppen-)Automorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ bijektiv ist.

Die Menge der Gruppenautomorphismen einer Gruppe $\mathcal{G}$ bildet gemeinsam mit der Komposition $\circ$ eine Gruppe, die als Automorphismengruppe $\operatorname{Aut}(\mathcal{G})$ von $\mathcal{G}$ bezeichnet wird.

Beispiele

Triviale Beispiele

Für beliebige Gruppen $\mathcal{G}_1 = \bigl(G_1,\star\bigr)$ und $\mathcal{G}_2 = \bigl(G_2,\diamond\bigr)$ handelt es sich bei der Nullabbildung, die alle Elemente aus $G_1$ auf das neutrale Element $e_\diamond \in G_2$ abbildet, um einen Gruppenhomomorphismus. Sein Kern umfasst ganz $G_1$.
Für eine beliebige Gruppe $\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)$ handelt es sich bei der identischen Abbildung $\id_G: G \rightarrow G$ mit $\id_G(a)=a$ um einen Gruppenisomorphismus.

Nichttriviale Beispiele

Bei der Exponentialfunktion handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven Gruppe $\bigl(\R,+\bigr)$ der reellen Zahlen $\R$ und der multiplikativen Gruppe $\bigl(\R \setminus \{0\},\cdot \bigr)$ der reellen Zahlen ohne Null; es gilt: $e^{x+y}=e^x \cdot e^y.$ Diese Abbildung ist injektiv; es handelt sich also um einen Gruppenmonomorphismus. Ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen.
Bei der Abbildung, die jeder invertierbaren $n \times n$ Matrix ihre Determinante zuordnet, handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus $\operatorname{GL}(n,\R) \rightarrow \bigl(\R \setminus \{0\},\cdot\bigr)$.
Bei der Abbildung, die jeder Permutation ihr Vorzeichen zuordnet, handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus $\mathcal{S}_n \rightarrow \bigl(\{-1,1\},\cdot\bigr)$. Diese Abbildung ist surjektiv; es handelt sich also um einen Gruppenepimorphismus.