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Nachlesen

Monoidhomomorphismus

Bei einem Monoidhomomorphismus handelt es sich um einen Homomorphismus (also um eine strukturerhaltende Abbildung) zwischen zwei Monoiden.

Inhalt

Definitionen

(Monoid-)Homomorphismus

Gegeben seien zwei Monoide \(\mathcal{M}_1 = \bigl(M_1,\star\bigr)\) und \(\mathcal{M}_2 = \bigl(M_2,\diamond\bigr)\). Eine Abbildung \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) wird (Monoid-)Homomorphismus genannt, wenn sie strukturerhaltend ist, d. h., wenn für alle Elemente \(a,b \in M_1\) stets die folgende Eigenschaft gilt:

\[ \varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b). \]

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden.

Bild und Kern

Beim Bild eines Monoidhomomorphismus \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) handelt es sich um die Bildmenge von \(M_1\) unter \(\varphi\), also um die Menge der Elemente aus \(M_2\), auf die die Elemente aus \(M_1\) abgebildet werden:

\[ \operatorname{Bild}(\varphi) = \operatorname{im}(\varphi) = \varphi(M_1) = \Bigl\{ \varphi(a) \mid a \in M_1 \Bigr\}. \]

Beim Kern eines Monoidhomomorphismus \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) handelt es sich um die Elemente aus \(M_1\), die auf das neutrale Element \(e_\diamond \in M_2\) abgebildet werden:

\[ \operatorname{Kern}(\varphi) = \operatorname{ker}(\varphi) = \varphi^{-1}(e_\diamond) = \Bigl\{ a \in M_1 \mid \varphi(a) = e_\diamond \Bigr\}. \]

Es gilt \(\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq M_2\) und \(\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq M_1\). Die Abbildung \(\varphi\) ist genau dann injektiv, wenn der Kern von \(\varphi\) nur das neutrale Element \(e_\star \in M_1\) enthält, und genau dann surjektiv, wenn \(\operatorname{Bild}(\varphi) = M_2\) gilt. Es handelt sich beim Bild von \(\varphi\) um eine Untermonoid des Monoids \(\mathcal{M}_2\).

Verkettung von Monoidhomomorphismen

Handelt es sich bei \(\varphi_1: M_1 \rightarrow M_2\) und bei \(\varphi_2: M_2 \rightarrow M_3\) um zwei Monoidhomomorphismen, so handelt es sich bei ihrer Komposition \(\varphi_2 \circ \varphi_1: M_1 \rightarrow M_3\) ebenfalls um einen Monoidhomomorphismus.

Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Monoidhomomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.

Eigenschaften

Neutrales Element

Gemäß der Definition eines Monoidhomomorphismus \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) gilt für alle \(a \in M_1\) und das neutrale Element \(e_\star \in M_1\) stets

\begin{align*} \varphi(a) &= \varphi(a \star e_\star) = \varphi(a) \diamond \varphi(e_\star) \\[0.5em] \varphi(a) &= \varphi(e_\star \star a) = \varphi(e_\star) \diamond \varphi(a). \end{align*}

Das Element \(\varphi(e_\star) \in M_2\) ist folglich links- und rechtsneutral (und somit neutral) bezüglich der Verknüpfung \(\diamond\).

In Worten: Das neutrale Element von \(\mathcal{M}_1\) wird auf das neutrale Element von \(\mathcal{M}_2\) abgebildet.

Arten von Monoidhomomorphismen

(Monoid-)Monomorphismus

Ein Monoidhomomorphismus \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) wird (Monoid-)Monomorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) injektiv ist.

(Monoid-)Epimorphismus

Ein Monoidhomomorphismus \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) wird (Monoid-)Epimorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) surjektiv ist.

(Monoid-)Isomorphismus

Ein Monoidhomomorphismus \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) wird (Monoid-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) bijektiv ist.

Ist \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) ein Monoidisomorphismus, so ist auch die Umkehrfunktion \(\varphi^{-1}: M_2 \rightarrow M_1\) ein Monoidisomorphismus und die Monoide werden isomorph genannt. Sie stimmen für nahezu alle Zwecke überein und unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente.

(Monoid-)Endomorphismus

Ein Monoidhomomorphismus \(\varphi: M \rightarrow M\) eines Monoids in sich selbst wird (Monoid-)Endomorphismus genannt.

(Monoid-)Automorphismus

Ein Monoidhomomorphismus \(\varphi: M \rightarrow M\) eines Monoids in sich selbst wird (Monoid-)Automorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) bijektiv ist.

Beispiele

Triviale Beispiele

  • Für beliebige Monoide \(\mathcal{M}_1 = \bigl(M_1,\star\bigr)\) und \(\mathcal{M}_2 = \bigl(M_2,\diamond\bigr)\) handelt es sich bei der Nullabbildung, die alle Elemente aus \(M_1\) auf das neutrale Element \(e_\diamond \in M_2\) abbildet, um einen Monoidhomomorphismus. Sein Kern umfasst ganz \(M_1\).
  • Für ein beliebiges Monoid \(\mathcal{M} = \bigl(M,\star\bigr)\) handelt es sich bei der identischen Abbildung \(\id_M: M \rightarrow M\) mit \(\id_M(a)=a\) um einen Monoidisomorphismus.

Nichttriviale Beispiele