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Addition von rationalen Zahlen

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ sowie $r_2 = \frac{c}{b}$ (mit $a,b,c \in \Z$), die denselben Nenner besitzen. Für die Summe dieser beiden Zahlen gilt:

\[ r_1 + r_2 = \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \]

Besitzen die rationalen Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ sowie $r_2 = \frac{c}{d}$ (mit $a,b,c,d \in \Z$) verschiedene Nenner, so müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, bevor sie addiert werden können. Einen gemeinsamen Nenner erhält man beispielsweise als Produkt der Nenner der beiden rationalen Zahlen.

\[ r_1 + r_2 = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad+bc}{bd} \]

Anstelle des Produkts $bd$ kann auch jedes andere gemeinsame Vielfache der Nenner von $r_1$ und $r_2$ verwendet werden, beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache.

Beispiele

Beispiel 1

Es seien $r_1 = \frac{1}{2}$ und $r_2 = \frac{1}{3}$. Da die Nenner verschieden sind, müssen $r_1$ und $r_2$ zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Ein gemeinsamer Nenner ist beispielsweise das Produkt der Nenner von $r_1$ und $r_2$.

\[ r_1 + r_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6} \]

Beispiel 2

Es seien $r_1 = \frac{1}{2}$ und $r_2 = \frac{1}{4}$. Die Nenner von $r_1$ und $r_2$ sind verschieden, aber der Nenner von $r_2$ ist ein Vielfaches des Nenners von $r_1$. In diesem Fall bietet es sich an, den Nenner von $r_2$ als gemeinsamen Nenner zu verwenden.

\[ r_1 + r_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2 + 1}{4} = \frac{3}{4} \]

Beispiel 3

Es seien $r_1 = \frac{1}{3}$, $r_2 = \frac{3}{4}$ und $r_3 = \frac{2}{5}$. Analog zur Addition von zwei rationalen Zahlen werden $r_1$, $r_2$ und $r_3$ zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und anschließend addiert.

\[ r_1 + r_2 + r_3 = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{20}{60} + \frac{45}{60} + \frac{24}{60} = \frac{20+45+24}{60} = \frac{89}{60} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von rationalen Zahlen ist assoziativ. Für rationale Zahlen $r_1 = \frac{p_1}{q_1}$, $r_2 = \frac{p_2}{q_2}$ und $r_3 = \frac{p_3}{q_3}$ gilt:

\begin{align*} \bigl( r_1+r_2 \bigr) + r_3 &= \left( \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} \right) + \frac{p_3}{q_3} \\[0.5em] &= \frac{p_1q_2 + p_2q_1}{q_1q_2} + \frac{p_3}{q_3} \\[0.5em] &= \frac{(p_1q_2q_3 + p_2q_1q_3) + p_3q_1q_2}{q_1q_2q_3} \\[0.5em] &= \frac{p_1q_2q_3 + (p_2q_1q_3 + p_3q_1q_2)}{q_1q_2q_3} \\[0.5em] &= \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2q_3 + p_3q_2}{q_2q_3} \\[0.5em] &= \frac{p_1}{q_1} + \left( \frac{p_2}{q_2} + \frac{p_3}{q_3} \right) \\[0.5em] &= r_1 + \bigl( r_2 + r_3 \bigr) \end{align*}

Kommutativität

Die Addition von rationalen Zahlen ist kommutativ. Für rationale Zahlen $r_1 = \frac{p_1}{q_1}$ und $r_2 = \frac{p_2}{q_2}$ gilt:

\[ r_1 + r_2 = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 + p_2q_1}{q_1q_2} = \frac{p_2q_1 + p_1q_2}{q_1q_2} = \frac{p_2}{q_2} + \frac{p_1}{q_1} = r_2 + r_1 \]

Neutrales Element

Die $0$ ist das neutrale Element der Addition von rationalen Zahlen:

\[ r + 0 = \frac{p}{q} + 0 = \frac{p+0}{q} = \underbrace{\frac{p}{q}}_{=r} = \frac{0+p}{q} = 0 + \frac{p}{q} = 0 + r. \]

Inverses Element

Das inverse Element einer rationalen Zahl $r \in \Q$ bezüglich der Addition ist $-r$.

\[ r + \bigl(-r\bigr) = \frac{p}{q} + \left( -\frac{p}{q} \right) = \frac{p + (-p)}{q} = \underbrace{\frac{0}{q}}_{=0} = \frac{(-p) + p}{q} = \left( -\frac{p}{q} \right) + \frac{p}{q} = (-r) + r \]