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Steigende Faktorielle

Die steigende Faktorielle (auch steigende Fakultät genannt) ist eine mathematische Funktion, die Ähnlichkeiten zum Potenzieren besitzt, jedoch mit dem wesentlichen Unterschied, dass die Faktoren schrittweise steigen, d. h. in jedem Schritt um den Wert Eins erhöht werden.

Inhalt

Definition
Rechenregeln
Verallgemeinerung

Definition

Für natürliche Zahlen \(n, k \in \N_0\) mit \(0 \leq k \leq n\) wird die \(\mathbf{k}\)-te steigende Faktorielle von \(\mathbf{n}\) wie folgt definiert:

\begin{align*} n^\overline{k} &= n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot \ldots \cdot \bigl( n+k-1) \\[0.5em] &= \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!} \end{align*}

Gelegentlich wird anstelle der Schreibweise \(n^\overline{k}\) auch die Schreibweise \(n^{(k)}\) für die steigende Faktorielle verwendet. Die zweite Gleichung beschreibt, wie die steigende Faktorielle mithilfe der Fakultät dargestellt werden kann.

Rechenregeln

Für die steigende Faktorielle gelten die folgenden Rechenregeln:

\begin{align*} n^\overline{0} &= 1 \\[0.5em] n^\overline{1} &= n \\[0.5em] {(-n)}^\overline{k} &= {(-1)}^k \cdot n^\underline{k} \\[0.5em] {(-n)}^\overline{k} &= 0 \quad (\text{für } 0 \leq n \leq k) \end{align*}

Mit \(n^\underline{k}\) ist die fallende Faktorielle bezeichnet.

Verallgemeinerung

Die steigende Faktorielle kann analog zur vorherigen Definition auf eine komplexe Zahl \(z \in \C\) und eine beliebige natürliche Zahl \(k \in \N_0\) erweitert werden. Es gilt

z^\overline{k} = z \cdot (z+1) \cdot (z+2) \cdot \ldots \cdot (z+k-1).