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Halbgruppenhomomorphismus

Bei einem Halbgruppenhomomorphismus handelt es sich um einen Homomorphismus (also um eine strukturerhaltende Abbildung) zwischen zwei Halbgruppen.

Definitionen

(Halbgruppen-)Homomorphismus

Gegeben seien zwei Halbgruppen $\mathcal{H}_1 = \bigl(H_1,\star\bigr)$ und $\mathcal{H}_2 = \bigl(H_2,\diamond\bigr)$. Eine Abbildung $\varphi: H_1 \rightarrow H_2$ wird (Halbgruppen-)Homomorphismus genannt, wenn sie strukturerhaltend ist, d. h., wenn für alle Elemente $a,b \in H_1$ stets die folgende Eigenschaft gilt:

\[ \varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b). \]

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden.

Bild

Beim Bild eines Halbgruppenhomomorphismus $\varphi: H_1 \rightarrow H_2$ handelt es sich um die Bildmenge von $H_1$ unter $\varphi$, also um die Menge der Elemente aus $H_2$, auf die die Elemente aus $H_1$ abgebildet werden:

\[ \operatorname{Bild}(\varphi) = \operatorname{im}(\varphi) = \varphi(H_1) = \Bigl\{ \varphi(a) \mid a \in H_1 \Bigr\}. \]

Es gilt $\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq H_2$. Die Abbildung $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn $\operatorname{Bild}(\varphi) = H_2$ gilt. Es handelt sich beim Bild von $\varphi$ um eine Unterhalbgruppe der Halbgruppe $\mathcal{H}_2$.

Verkettung von Halbgruppenhomomorphismen

Handelt es sich bei $\varphi_1: H_1 \rightarrow H_2$ und bei $\varphi_2: H_2 \rightarrow H_3$ um zwei Halbgruppenhomomorphismen, so handelt es sich bei ihrer Komposition $\varphi_2 \circ \varphi_1: H_1 \rightarrow H_3$ ebenfalls um einen Halbgruppenhomomorphismus.

Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Halbgruppenhomomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.

Arten von Halbgruppenhomomorphismen

(Halbgruppen-)Monomorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus $\varphi: H_1 \rightarrow H_2$ wird (Halbgruppen-)Monomorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ injektiv ist.

(Halbgruppen-)Epimorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus $\varphi: H_1 \rightarrow H_2$ wird (Halbgruppen-)Epimorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ surjektiv ist.

(Halbgruppen-)Isomorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus $\varphi: H_1 \rightarrow H_2$ wird (Halbgruppen-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ bijektiv ist.

Ist $\varphi: H_1 \rightarrow H_2$ ein Halbgruppenisomorphismus, so ist auch die Umkehrfunktion $\varphi^{-1}: H_2 \rightarrow H_1$ ein Halbgruppenisomorphismus und die Halbgruppen werden isomorph genannt. Sie stimmen für nahezu alle Zwecke überein und unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente.

(Halbgruppen-)Endomorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus $\varphi: H \rightarrow H$ einer Halbgruppe in sich selbst wird (Halbgruppen-)Endomorphismus genannt.

(Halbgruppen-)Automorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus $\varphi: H \rightarrow H$ einer Halbgruppe in sich selbst wird (Halbgruppen-)Automorphismus genannt, wenn die Abbildung $\varphi$ bijektiv ist.

Beispiele

Triviale Beispiele

  • Für eine beliebige Halbgruppe $\mathcal{H} = \bigl(H,\star\bigr)$ handelt es sich bei der identischen Abbildung $\id_H: H \rightarrow H$ mit $\id_H(a)=a$ um einen Halbgruppenisomorphismus.

Nichttriviale Beispiele