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Halbgruppenhomomorphismus

Bei einem Halbgruppenhomomorphismus handelt es sich um einen Homomorphismus (also um eine strukturerhaltende Abbildung) zwischen zwei Halbgruppen.

Definitionen

(Halbgruppen-)Homomorphismus

Gegeben seien zwei Halbgruppen \(\mathcal{H}_1 = \bigl(H_1,\star\bigr)\) und \(\mathcal{H}_2 = \bigl(H_2,\diamond\bigr)\). Eine Abbildung \(\varphi: H_1 \rightarrow H_2\) wird (Halbgruppen-)Homomorphismus genannt, wenn sie strukturerhaltend ist, d. h., wenn für alle Elemente \(a,b \in H_1\) stets die folgende Eigenschaft gilt:

\[ \varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b). \]

In Worten: Es ist egal, ob die Elemente zunächst verknüpft und anschließend abgebildet werden, oder ob die Elemente zunächst abgebildet und anschließend ihre Bilder verknüpft werden.

Bild

Beim Bild eines Halbgruppenhomomorphismus \(\varphi: H_1 \rightarrow H_2\) handelt es sich um die Bildmenge von \(H_1\) unter \(\varphi\), also um die Menge der Elemente aus \(H_2\), auf die die Elemente aus \(H_1\) abgebildet werden:

\[ \operatorname{Bild}(\varphi) = \operatorname{im}(\varphi) = \varphi(H_1) = \Bigl\{ \varphi(a) \mid a \in H_1 \Bigr\}. \]

Es gilt \(\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq H_2\). Die Abbildung \(\varphi\) ist genau dann surjektiv, wenn \(\operatorname{Bild}(\varphi) = H_2\) gilt. Es handelt sich beim Bild von \(\varphi\) um eine Unterhalbgruppe der Halbgruppe \(\mathcal{H}_2\).

Verkettung von Halbgruppenhomomorphismen

Handelt es sich bei \(\varphi_1: H_1 \rightarrow H_2\) und bei \(\varphi_2: H_2 \rightarrow H_3\) um zwei Halbgruppenhomomorphismen, so handelt es sich bei ihrer Komposition \(\varphi_2 \circ \varphi_1: H_1 \rightarrow H_3\) ebenfalls um einen Halbgruppenhomomorphismus.

Die Komposition von injektiven bzw. surjektiven Halbgruppenhomomorphismen ist selbst wieder injektiv bzw. surjektiv.

Arten von Halbgruppenhomomorphismen

(Halbgruppen-)Monomorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus \(\varphi: H_1 \rightarrow H_2\) wird (Halbgruppen-)Monomorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) injektiv ist.

(Halbgruppen-)Epimorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus \(\varphi: H_1 \rightarrow H_2\) wird (Halbgruppen-)Epimorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) surjektiv ist.

(Halbgruppen-)Isomorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus \(\varphi: H_1 \rightarrow H_2\) wird (Halbgruppen-)Isomorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) bijektiv ist.

Ist \(\varphi: H_1 \rightarrow H_2\) ein Halbgruppenisomorphismus, so ist auch die Umkehrfunktion \(\varphi^{-1}: H_2 \rightarrow H_1\) ein Halbgruppenisomorphismus und die Halbgruppen werden isomorph genannt. Sie stimmen für nahezu alle Zwecke überein und unterscheiden sich nur durch die Bezeichnungen ihrer Elemente.

(Halbgruppen-)Endomorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus \(\varphi: H \rightarrow H\) einer Halbgruppe in sich selbst wird (Halbgruppen-)Endomorphismus genannt.

(Halbgruppen-)Automorphismus

Ein Halbgruppenhomomorphismus \(\varphi: H \rightarrow H\) einer Halbgruppe in sich selbst wird (Halbgruppen-)Automorphismus genannt, wenn die Abbildung \(\varphi\) bijektiv ist.

Beispiele

Triviale Beispiele

  • Für eine beliebige Halbgruppe \(\mathcal{H} = \bigl(H,\star\bigr)\) handelt es sich bei der identischen Abbildung \(\id_H: H \rightarrow H\) mit \(\id_H(a)=a\) um einen Halbgruppenisomorphismus.

Nichttriviale Beispiele