Vereinigung von Mengen

Bei der Vereinigungsmenge von zwei oder mehr Mengen handelt es sich um alle Elemente, die in mindestens einer dieser Mengen vorkommen.

Definition

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Bei der Vereinigungsmenge $A \cup B$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die in der Menge $A$, in der Menge $B$ oder auch in beiden Mengen enthalten sind:

Allgemein: Gegeben seien die Mengen $A_1,\ldots,A_n$. Bei der Vereinigungsmenge $A_1 \cup \ldots \cup A_n$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die in mindestens einer der Mengen $A_i$ enthalten sind:

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \bigl\{1,2,3\bigr\}$ und $B = \bigl\{3,4,5\bigr\}$. Die Vereinigung $A \cup B$ enthält alle Elemente, die in $A$ und/oder $B$ enthalten sind:

Beispiel 2

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$, $B = \bigl\{c,d,e\bigr\}$ und $C=\bigl\{e,f\bigr\}$. Die Vereinigung $A \cup B \cup C$ enthält alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen $A$, $B$ oder $C$ enthalten sind:

Beispiel 3

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \bigl\{a,b\bigr\}$. Die Menge $B$ ist eine Teilmenge der Menge $A$. Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ entspricht in diesem Fall der Menge $A$ selbst:

Beispiel 4

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \emptyset$. Da $B$ die leere Menge ist, entspricht die Vereinigung $A \cup B$ der Menge $A$ selbst:

Eigenschaften

Assoziativität

Die Vereinigung $\cup$ von Mengen ist assoziativ. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:

Kommutativität

Die Vereinigung $\cup$ von Mengen ist kommutativ. Für Mengen $A$ und $B$ gilt:

Distributivität

Die Vereinigung $\cup$ von Mengen ist distributiv über dem Schnitt $\cap$ von Mengen. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:

Neutrales Element

Bei der leeren Menge $\emptyset$ handelt es sich um das neutrale Element der Vereinigung $\cup$ von Mengen. Für eine Menge $A$ gilt:

Absorbierendes Element

Handelt es sich bei der Menge $A \subseteq M$ um eine Teilmenge einer Grundmenge $M$, so handelt es sich bei $M$ um ein absorbierendes Element der Vereinigung $\cup$ von Mengen: