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Schnitt von Mengen

Bei der Schnittmenge von zwei oder mehr Mengen handelt es sich um alle Elemente, die diese Mengen gemeinsam haben.

Definition

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Bei der Schnittmenge $A \cap B$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind:

\[ A \cap B = \Bigl\{ x \mid x \in A \text{ und } x \in B \Bigr\}. \]
Darstellung der Schnittmenge von zwei Mengen
Darstellung der Schnittmenge $A \cap B$

Allgemein: Gegeben seien Mengen $A_1,\ldots,A_n$. Bei der Schnittmenge $A_1 \cap \ldots \cap A_n$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die in jeder der Mengen $A_i$ enthalten sind:

\[ \bigcap\limits_{i=1}^{n}{A_i} = A_1 \cap \ldots \cap A_n = \Bigl\{ x \mid x \in A_1 \wedge \ldots \wedge x \in A_n \Bigr\}. \]

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \bigl\{1,2,3\bigr\}$ und $B = \bigl\{2,3,4\bigr\}$. Die Schnittmenge $A \cap B$ enthält alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind:

\[ A \cap B = \Bigl\{ 1,2,3 \Bigr\} \cap \Bigl\{ 2,3,4 \Bigr\} = \Bigl\{ 2,3 \Bigr\}. \]

Beispiel 2

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c,d\bigr\}$, $B = \bigl\{c,d,e\bigr\}$ und $C=\bigl\{d,e,f\bigr\}$. Die Schnittmenge $A \cap B \cap C$ enthält alle Elemente, die in jeder der Mengen $A$, $B$ und $C$ enthalten sind:

\[ A \cap B \cap C = \Bigl\{ a,b,c,d \Bigr\} \cap \Bigl\{ c,d,e \Bigr\} \cap \Bigl\{ d,e,f \Bigr\} = \Bigl\{ d \Bigr\}. \]

Beispiel 3

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \bigl\{a,b\bigr\}$. Die Menge $B$ ist eine Teilmenge der Menge $A$. Die Schnittmenge $A \cap B$ entspricht in diesem Fall der Menge $B$ selbst:

\[ A \cap B = \Bigl\{ a,b,c \Bigr\} \cap \Bigl\{ a,b \Bigr\} = \Bigl\{ a,b \Bigr\} = B. \]

Beispiel 4

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \emptyset$. Da $B$ die leere Menge ist, entspricht die Schnittmenge $A \cap B$ der leeren Menge:

\[ A \cap B = \Bigl\{ a,b,c \Bigr\} \cap \emptyset = \emptyset. \]

Eigenschaften

Assoziativität

Der Schnitt $\cap$ von Mengen ist assoziativ. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:

\[ \bigl( A \cap B \bigr) \cap C = A \cap \bigl( B \cap C \bigr) = A \cap B \cap C. \]

Kommutativität

Der Schnitt $\cap$ von Mengen ist kommutativ. Für Mengen $A$ und $B$ gilt:

\[ A \cap B = B \cap A. \]

Distributivität

Der Schnitt $\cap$ von Mengen ist distributiv über der Vereinigung $\cup$ sowie über der symmetrischen Differenz $\triangle$ von Mengen. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:

\begin{align*} A \cap \bigl( B \cup C \bigr) &= \bigl( A \cap B \bigr) \cup \bigl( A \cap C \bigr) \\[0.5em] \bigl( A \cup B \bigr) \cap C &= \bigl( A \cap C \bigr) \cup \bigl( B \cap C \bigr) \\[1.0em] A \cap \bigl( B \mathop{\triangle} C \bigr) &= \bigl( A \cap B \bigr) \mathop{\triangle} \bigl( A \cap C \bigr) \\[0.5em] \bigl( A \mathop{\triangle} B \bigr) \cap C &= \bigl( A \cap C \bigr) \mathop{\triangle} \bigl( B \cap C \bigr). \end{align*}

Neutrales Element

Handelt es sich bei der Menge $A \subseteq M$ um eine Teilmenge einer Grundmenge $M$, so handelt es sich bei $M$ um das neutrale Element des Schnitts $\cap$ von Mengen:

\[ M \cap A = A = A \cap M. \]

Absorbierendes Element

Bei der leeren Menge $\emptyset$ handelt es sich um ein absorbierendes Element des Schnitts $\cap$ von Mengen. Für eine Menge $A$ gilt:

\[ \emptyset \cap A = \emptyset = A \cap \emptyset. \]