Vereinigung von Mengen
Bei der Vereinigungsmenge von zwei oder mehr Mengen handelt es sich um alle Elemente, die in mindestens einer dieser Mengen vorkommen.
Definition
Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Bei der Vereinigungsmenge $A \cup B$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die in der Menge $A$, in der Menge $B$ oder auch in beiden Mengen enthalten sind:
Allgemein: Gegeben seien die Mengen $A_1,\ldots,A_n$. Bei der Vereinigungsmenge $A_1 \cup \ldots \cup A_n$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die in mindestens einer der Mengen $A_i$ enthalten sind:
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben seien die beiden Mengen $A = \bigl\{1,2,3\bigr\}$ und $B = \bigl\{3,4,5\bigr\}$. Die Vereinigung $A \cup B$ enthält alle Elemente, die in $A$ und/oder $B$ enthalten sind:
Beispiel 2
Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$, $B = \bigl\{c,d,e\bigr\}$ und $C=\bigl\{e,f\bigr\}$. Die Vereinigung $A \cup B \cup C$ enthält alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen $A$, $B$ oder $C$ enthalten sind:
Beispiel 3
Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \bigl\{a,b\bigr\}$. Die Menge $B$ ist eine Teilmenge der Menge $A$. Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ entspricht in diesem Fall der Menge $A$ selbst:
Beispiel 4
Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \emptyset$. Da $B$ die leere Menge ist, entspricht die Vereinigung $A \cup B$ der Menge $A$ selbst:
Eigenschaften
Assoziativität
Die Vereinigung \(\cup\) von Mengen ist assoziativ. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:
Kommutativität
Die Vereinigung \(\cup\) von Mengen ist kommutativ. Für Mengen $A$ und $B$ gilt:
Distributivität
Die Vereinigung \(\cup\) von Mengen ist distributiv über dem Schnitt \(\cap\) von Mengen. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:
Neutrales Element
Bei der leeren Menge \(\emptyset\) handelt es sich um das neutrale Element der Vereinigung \(\cup\) von Mengen. Für eine Menge \(A\) gilt:
Absorbierendes Element
Handelt es sich bei der Menge \(A \subseteq M\) um eine Teilmenge einer Grundmenge \(M\), so handelt es sich bei \(M\) um ein absorbierendes Element der Vereinigung \(\cup\) von Mengen: