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Kreuzprodukt

Beim Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt) handelt es sich um eine mathematische Verknüpfung, die zwei dreidimensionalen Vektoren einen Vektor zuordnet, der orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren ist.

Definition

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $a, b \in \R^3$ ist definiert durch:

\[ a \times b = \begin{pmatrix} a_1 \\[0.25em] a_2 \\[0.25em] a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\[0.25em] b_2 \\[0.25em] b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\[0.25em] a_3b_1 - a_1b_3 \\[0.25em] a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}. \]

Beispiele

Das Beispiel zeigt exemplarisch die Berechnung des Kreuzprodukts zweier Vektoren des $\R^3$:

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 0 - 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot 2 - 2 \cdot 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

Für das Kreuzprodukt gelten die folgenden Eigenschaften:

  • Das Kreuzprodukt ist bilinear. Für $a,b,c \in \R^3$ und $\alpha, \beta, \gamma \in \R$ gilt
    \begin{align*} a \times \bigl( \beta \cdot b + \gamma \cdot c \bigr) &= \beta \cdot \bigl(a \times b \bigr) + \gamma \cdot \bigl( a \times c \bigr) \\[0.5em] \bigl( \alpha \cdot a + \beta \cdot b \bigr) \times c &= \alpha \cdot \bigl(a \times c \bigr) + \beta \cdot \bigl( b \times c \bigr). \end{align*}
  • Das Kreuzprodukt ist antikommutativ. Für $a,b \in \R^3$ gilt:
    \[ a \times b = - \bigl( b \times a \bigr). \]
  • Für die Vektoren $a,b,v \in \R^3$ gilt:
    \[ v \cdot \bigl(a \times b\bigr) = \det(v,a,b) = \det\begin{pmatrix} v_1 & a_1 & b_1 \\[0.25em] v_2 & a_2 & b_2 \\[0.25em] v_3 & a_3 & b_3 \end{pmatrix}. \]

Nachweis der Orthogonalität

Der Nachweis, dass das Kreuzprodukt $c = a \times b$ für $a,b \in \R^3$ orthogonal zu $a$ und $b$ ist, erfolgt mithilfe des Skalarprodukts:

\begin{align*} c \cdot a &= (a_2b_3 - a_3b_2) \cdot a_1 + (a_3b_1 - a_1b_3) \cdot a_2 + (a_1b_2 - a_2b_1) \cdot a_3 \\[0.5em] &= a_2b_3a_1 - a_3b_2a_1 + a_3b_1a_2 - a_1b_3a_2 + a_1b_2a_3 - a_2b_1a_3 \\[0.5em] &= {\color{red} a_1a_2b_3} {\color{blue} {}- a_1a_3b_2} {\color{green} {}+ a_2a_3b_1} {\color{red} {}- a_1a_2b_3} {\color{blue} {}+ a_1a_3b_2} {\color{green} {}- a_2a_3b_1} \\[0.5em] &= 0 \\[1.5em] c \cdot b &= (a_2b_3 - a_3b_2) \cdot b_1 + (a_3b_1 - a_1b_3) \cdot b_2 + (a_1b_2 - a_2b_1) \cdot b_3 \\[0.5em] &= a_2b_3b_1 - a_3b_2b_1 + a_3b_1b_2 - a_1b_3b_2 + a_1b_2b_3 - a_2b_1b_3 \\[0.5em] &= {\color{red} a_2b_1b_3} {\color{blue} {}- a_3b_1b_2} {\color{blue} {}+ a_3b_1b_2} {\color{green} {}- a_1b_2b_3} {\color{green} {}+ a_1b_2b_3} {\color{red} {}- a_2b_1b_3} \\[0.5em] &= 0. \end{align*}

Aus $c \cdot a = 0$ folgt $c \bot a$. Analog folgt aus $c \cdot b = 0$ die Orthogonalität $c \bot b$.