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Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren sind genau dann senkrecht bzw. orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Zwei Vektoren $a,b \in \mathcal{R}^n$ sind genau dann senkrecht (oder orthogonal), wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist:

a \mathop{\bot} b \Leftrightarrow a \cdot b = 0.

Der Nullvektor ist orthogonal zu jedem Vektor $v \in \mathcal{R}^n$:

0 \mathop{\bot} v.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden Vektoren $a = \bigl(1,2,3\bigr)$ und $b = \bigl(-4,5,-2\bigr)$. Die Vektoren $a$ und $b$ sind senkrecht, denn es gilt:

\begin{align*} a \cdot b &= \begin{pmatrix} 1 \\[0.25em] 2 \\[0.25em] 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\[0.25em] 5 \\[0.25em] -2 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-2) \\[0.5em] &= -4 + 10 - 6 \\[0.5em] &= 0. \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben seien die beiden Vektoren $a = \bigl(2,0,3,1\bigr)$ und $b = \bigl(-1,2,0,5\bigr)$. Die Vektoren $a$ und $b$ sind nicht senkrecht, denn es gilt:

\begin{align*} a \cdot b &= \begin{pmatrix} 2 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 3 \\[0.25em] 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\[0.25em] 2 \\[0.25em] 0 \\[0.25em] 5 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 5 \\[0.5em] &= -2 + 0 + 0 + 5 \\[0.5em] &= 3 \\[0.5em] &\neq 0. \end{align*}

Beispiel 3

Gegeben seien die beiden Vektoren $a = \bigl( {[3]}_5, {[1]}_5 \bigr)$ und $b = \bigl( {[2]}_5, {[4]}_5 \bigr)$ mit Einträgen aus dem Restklassenkörper $\Z_5$. Die Vektoren $a$ und $b$ sind senkrecht, denn es gilt:

\begin{align*} a \cdot b &= \begin{pmatrix} {[3]}_5 \\[0.25em] {[1]}_5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {[2]}_5 \\[0.25em] {[4]}_5 \end{pmatrix} \\[0.5em] &= {[3]}_5 \cdot {[2]}_5 + {[1]}_5 \cdot {[4]}_5 \\[0.5em] &= {[1]}_5 + {[4]}_5 \\[0.5em] &= {[0]}_5. \end{align*}

Beweis

Um zu beweisen, dass zwei Vektoren $a$ und $b$ genau dann senkrecht sind, wenn ihr Skalarprodukt Null ist, sind zwei Aussagen zu zeigen:

\begin{align*} \text{(I)} &\quad a \mathop{\bot} b \Rightarrow a \cdot b = 0 \\[0.5em] \text{(II)} &\quad a \mathop{\bot} b \Leftarrow a \cdot b = 0. \end{align*}

Beweis von (I)

Gegeben seien die beiden orthogonalen Vektoren $a$ und $b$, d. h. $a \mathop{\bot} b$. Für den zwischen den Vektoren $a$ und $b$ eingeschlossenen Winkel $\varphi$ gilt dann $\varphi = \pm\frac{\pi}{2} = \pm 90^\circ$. Einsetzen in die Definition des Skalarprodukt liefert das gewünschte Ergebnis:

\begin{align*} a \cdot b &= |a| \cdot |b| \cdot \cos\bigl(\varphi\bigr) \\[0.5em] &= |a| \cdot |b| \cdot \cos\left(\pm\frac{\pi}{2}\right) \\[0.5em] &= |a| \cdot |b| \cdot 0 \\[0.5em] &= 0. \end{align*}

Hinweis: Diese Eigenschaft gilt ebenfalls, wenn es sich bei $a$ oder $b$ um den Nullvektor handelt, da dann $|a|=0$ oder $|b|=0$ gilt.

Beweis von (II)

Gegeben seien zwei Vektoren $a,b$ mit $a \neq 0$ und $b \neq 0$. Für das Skalarprodukt der Vektoren $a$ und $b$ gelte

a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos\bigl(\varphi\bigr) = 0.

Das Produkt $|a| \cdot |b| \cdot \cos\bigl(\varphi\bigr)$ ist genau dann $0$, wenn mindestens einer der Faktoren $|a|$, $|b|$ oder $\cos(\varphi)$ gleich $0$ ist. Da es sich weder bei $a$ noch bei $b$ um den Nullvektor handelt, gilt $|a| \neq 0$ sowie $|b| \neq 0$. Folglich muss $\cos(\varphi) = 0$ gelten: Dies ist nur für $\varphi = \pm\frac{\pi}{2} = \pm 90^\circ$ der Fall – in beiden Fällen gilt $a \mathop{\bot} b$.

Hinweis: Das Skalarprodukt mit dem Nullvektor ist stets 0. Da der Nullvektor zudem definitionsgemäß senkrecht zu allen Vektoren ist, gilt diese Aussage somit implizit auch für diesen.