Aufgaben zur quadratischen Ergänzung

Die quadratische Gleichung kann mithilfe quadratischer Ergänzung wie folgt gelöst werden:

1. Normieren der Gleichung.
   

   Die quadratische Gleichung liegt bereits in normierter Form vor.

   \[\begin{align*}
   x^2 - 5x + 6 &= 0
   \end{align*}\]
2. Aufteilen der Gleichung.
   

   Da der konstante Term auf der linken Seite der Gleichung ungleich Null ist, wird die Gleichung im zweiten Schritt aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable abhängen, auf der linken und alle konstanten Terme entsprechend auf der rechten Seite der Gleichung stehen.

   \[x^2 - 5x = -6\]
3. Quadratische Ergänzung.
   

   Im dritten Schritt wird die linke Seite in die Form \({x}^2 + 2dx + d^2\) gebracht, indem auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addiert wird. Aus \(2dx = -5x\) folgt unmittelbar \(d = -\frac{5}{2}\) und somit \(d^2 = \frac{25}{4}\).

   \[x^2 - 5x + \frac{25}{4} = \frac{1}{4}\]
4. Anwenden der binomischen Formeln.
   

   Mithilfe der zweiten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden.

   \[{\left(x - \frac{5}{2}\right)}^2 = \frac{1}{4}\]
5. Wurzelziehen.
   

   Im fünften Schritt wird anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

   \[x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\]
6. Ausrechnen der Lösung.
   

   Im letzten Schritt kann die Gleichung nach der Variable umgestellt und die Lösung abgelesen werden.

   \[x = \frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}\]

   Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

   \[\begin{align*}
   {x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
   \Rightarrow\ {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
   {x}_2 &= 3
   \end{align*}\]

   Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.