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Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine mathematische Gleichung, in der die Variable in quadrierter Form vorkommt – in der die Variable also in der zweiten Potenz auftritt. Im Bereich der reellen Zahlen kann eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt sie stets zwei Lösungen, die ggf. zusammenfallen. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung können unter anderem mittels quadratischer Ergänzung, mithilfe der abc-Formel oder mit der pq-Formel bestimmt werden.

Inhalt

Definition
Lösen von reellen quadratischen Gleichungen
Lösen von komplexen quadratischen Gleichungen
Linearfaktorzerlegung
Satz von Vieta
Beispiele

Definition

Allgemeine quadratische Gleichung

Eine Gleichung mit einer Variable wird quadratische Gleichung genannt, wenn sie mithilfe von Äquivalenzumformungen in die Form

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

mit $a \neq 0$ überführt werden kann. Bei den Werten $a,b,c$ handelt es sich um konstante Koeffizienten, die nicht von der Variable $x$ abhängen. Für beliebige Leitkoeffizienten $a \neq 0$ handelt es sich um eine allgemeine quadratische Gleichung bzw. um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form. Es gelten die folgenden Bezeichnungen:

$ax^2$ wird quadratisches Glied genannt;
$bx$ wird lineares Glied genannt;
$c$ wird konstantes Glied oder Absolutglied genannt.

Bei einem Wert handelt es sich um eine Lösung der quadratischen Gleichung, wenn die Gleichung für diesen Wert erfüllt ist. Quadratische Gleichungen können keine, eine oder zwei Lösungen besitzen, die sich beispielsweise mithilfe der folgenden Formel ermitteln lassen:

x_{1/2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Normierte quadratische Gleichung

Eine normierte quadratische Gleichung bzw. eine quadratische Gleichung in Normalform ist eine quadratische Gleichung

\[ x^2 + px + q = 0, \]

deren Leitkoeffizient gleich Eins ist. Normierte quadratische Gleichungen können keine, eine oder zwei Lösungen besitzen, die sich beispielsweise mithilfe der folgenden Formel ermitteln lassen:

x_{1/2} = \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}.

Jede allgemeine quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ mit $a \neq 0$ kann in Normalform überführt werden, indem die Gleichung durch den Leitkoeffizienten $a$ geteilt wird:

x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0.

Reinquadratische Gleichung

Eine reinquadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied, d. h. eine Gleichung in der folgenden Form:

\[ ax^2 + c = 0. \]

Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung

Bei der Scheitelpunktform einer (allgemeinen) quadratischen Gleichung handelt es sich um eine Darstellungsform, an der der Scheitelpunkt der zugrundeliegenden quadratischen Funktion direkt abgelesen werden kann:

a {\bigl( x - d \bigr)}^2 + e = 0.

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt beim Punkt $(d,e)$ und es gilt:

für $a \gt 0$ handelt es sich um ein lokales Minimum;
für $a \lt 0$ handelt es sich um ein lokales Maximum.

Lösen von reellen quadratischen Gleichungen

Anzahl der Lösungen

Eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten kann keine, eine oder zwei reelle Lösungen besitzen. Die Anzahl der Lösungen kann mithilfe der Diskriminante $D = b^2-4ac$ (für den allgemeinen Fall) bzw. $D = p^2-4q$ (für den normierten Fall) direkt bestimmt werden. Die Gleichung besitzt

zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $D \gt 0$ gilt;
eine (doppelte) reelle Lösung, falls $D = 0$ gilt;
keine reellen Lösungen, falls $D \lt 0$ gilt.

Spezialfall: Fehlendes lineares Glied

Eine reinquadratische Gleichung $ax^2 + c = 0$ mit $a \neq 0$ kann mithilfe von Äquivalenzumformungen zunächst nach $x^2$ umgestellt werden:

x^2 = -\dfrac{c}{a}.

Anschließendes Ziehen der Wurzel liefert die gesuchten Lösungen. Hierbei gilt: Die Gleichung besitzt

zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $ac \lt 0$ gilt: $x_{1/2} = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}.$
eine (doppelte) reelle Lösung, falls $ac = 0$ bzw. $c=0$ gilt: $x_{1/2} = 0.$
keine reellen Lösungen, falls $ac \gt 0$ gilt.

Für den Fall $ac \gt 0$ existieren die beiden zueinander konjugiert komplexen Lösungen

x_{1/2} = \pm i \cdot \sqrt{\dfrac{c}{a}}.

Spezialfall: Fehlendes konstantes Glied

Eine quadratische Gleichung $ax^2 + bx = 0$ ohne konstantes Glied kann durch Ausklammern der Variable $x$ gelöst werden. Es gilt:

ax^2 + bx = x \cdot (ax+b) = 0.

Damit ein Produkt Null ist, muss einer der Faktoren Null sein; es muss also entweder $x = 0$ oder $ax+b=0$ gelten, woraus sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung direkt ergeben:

\begin{align*} x_1 &= 0 \\[0.5em] x_2 &= -\dfrac{b}{a}. \end{align*}

Spezialfall: Gleichung in Scheitelpunktform

Eine quadratische Gleichung $a{(x-d)}^2+e=0$ in Scheitelpunktform (mit $a \neq 0$) kann vergleichbar zu einer reinquadratischen Gleichung gelöst werden. Zunächst wird die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach $ {(x-d)}^2$ umgestellt:

{\bigl( x-d \bigr)}^2 = -\dfrac{e}{a}.

Anschließendes Ziehen der Wurzel und Umstellen nach $x$ liefert:

\begin{align*} x-d &= \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}} \\[0.5em] x &= d \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}} \end{align*}

Die quadratische Gleichung besitzt

zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $ae \lt 0$ gilt: $x_{1/2} = d \pm\sqrt{-\dfrac{e}{a}}.$
eine (doppelte) reelle Lösung, falls $ae = 0$ bzw. $e=0$ gilt: $x_{1/2} = d.$
keine reellen Lösungen, falls $ae \gt 0$ gilt.

Für den Fall $ae \gt 0$ existieren die beiden zueinander konjugiert komplexen Lösungen

x_{1/2} = d \pm i \cdot \sqrt{\dfrac{e}{a}}.

Quadratische Ergänzung

Hauptartikel: Quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung handelt es sich um ein Verfahren zum Lösen von quadratischen Gleichungen, bei dem die Gleichung in allgemeiner oder in Normalform zunächst derart umgeformt wird, dass die linke Seite die Form $x^2 \pm 2dx$ besitzt. Anschließende Addition von $d^2$ auf beiden Seiten der Gleichung überführt die linke Seite in die Form $x^2 \pm 2dx + d^2$, die unter Zuhilfenahme der ersten bzw. zweiten binomischen Formel in die Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung überführt werden kann, mit deren Hilfe die Lösungen anschließend elegant bestimmt werden kann.

Lösungsformel für allgemeine quadratische Gleichungen (abc-Formel)

Hauptartikel: abc-Formel

Bei der abc-Formel (auch Mitternachtsformel) handelt es sich um eine Lösungsformel, die zum Lösen allgemeiner quadratischer Gleichungen verwendet werden kann. Sie kann mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden und besagt, dass es sich bei

x_{1/2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

um die Lösungen der quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ handelt. Der Term unter der Wurzel wird als Diskriminante $D$ bezeichnet und es gilt: Die quadratische Gleichung besitzt

zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $D \gt 0$ gilt: $x_{1/2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$
eine (doppelte) reelle Lösung, falls $D = 0$ gilt: $x_{1/2} = -\dfrac{b}{2a}.$
keine reellen Lösungen, falls $D \lt 0$ gilt.

Für den Fall einer negativen Diskriminante $D \lt 0$ existieren die beiden zueinander konjugiert komplexen Lösungen

x_{1/2} = \dfrac{-b \pm i \cdot \sqrt{4ac-b^2}}{2a}.

Es existieren weitere, äquivalente Versionen der abc-Formel, für die die genannten Eigenschaften in analoger Weise gelten:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 - \dfrac{c}{a}} \\[0.5em] &= -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a}}. \end{align*}

Lösungsformel für normierte quadratische Gleichungen (pq-Formel)

Hauptartikel: pq-Formel

Bei der pq-Formel handelt es sich um eine Lösungsformel, die zum Lösen normierter quadratischer Gleichungen verwendet werden kann. Sie kann mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden und besagt, dass es sich bei

x_{1/2} = \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}

um die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ handelt. Der Term unter der Wurzel wird als Diskriminante $D$ bezeichnet und es gilt: Die quadratische Gleichung besitzt

zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $D \gt 0$ gilt: $x_{1/2} = \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}.$
eine (doppelte) reelle Lösung, falls $D = 0$ gilt: $x_{1/2} = -\dfrac{p}{2}.$
keine reellen Lösungen, falls $D \lt 0$ gilt.

Für den Fall einer negativen Diskriminante $D \lt 0$ existieren die beiden zueinander konjugiert komplexen Lösungen

x_{1/2} = \dfrac{-p \pm i \cdot \sqrt{4q-p^2}}{2}.

Es existieren weitere, äquivalente Versionen der pq-Formel, für die die genannten Eigenschaften in analoger Weise gelten:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] &= -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q}. \end{align*}

Lösen von komplexen quadratischen Gleichungen

Eine quadratische Gleichung

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

mit komplexen Koeffizienten $a,b,c \in \C$ und $a \neq 0$ besitzt stets zwei komplexe Lösungen. Diese können mit den zuvor für reelle Koeffizienten beschriebenen Lösungsverfahren bestimmt werden. Es ist jedoch zu beachten, dass hierbei typischerweise die Wurzeln einer komplexen Zahl bestimmt werden müssen.

Linearfaktorzerlegung

Hauptartikel: Linearfaktorzerlegung von Polynomen

Mithilfe der Lösungen $x_1$ und $x_2$ einer allgemeinen quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ lässt sich ein quadratisches Polynom in Linearfaktoren zerlegen; es gilt:

ax^2+bx+c = a \bigl( x-x_1 \bigr) \bigl( x-x_2 \bigr).

Analog lässt sich mithilfe der Lösungen $x_1$ und $x_2$ einer normierten quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ ein normiertes quadratisches Polynom in Linearfaktoren zerlegen; es gilt:

x^2+px+q = \bigl( x-x_1 \bigr) \bigl( x-x_2 \bigr).

Satz von Vieta

Hauptartikel: Satz von Vieta

Für eine quadratische Gleichung in Normalform mit den Lösungen $x_1$ und $x_2$ gilt stets:

\begin{align*} 0 &= x^2 + px + q \\[0.5em] &= \bigl( x-x_1 \bigr) \bigl( x-x_2 \bigr) \\[0.5em] &= x^2 - \bigl(x_1 + x_2 \bigr) x + x_1x_2. \end{align*}

Durch einen Koeffizientenvergleich ergibt sich hieraus unmittelbar der Satz von Vieta, der einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen der quadratischen Gleichungen herstellt:

\begin{align*} x_1 + x_2 &= -p \\[0.5em] x_1 \cdot x_2 &= q. \end{align*}

Der Satz von Vieta liefert somit einen möglichen Ansatz, durch Ausprobieren Lösungen der quadratischen Gleichung zu finden, indem Teilerpaare von $q$ gesucht werden und anschließend geprüft wird, ob deren Summe den Wert $-p$ ergibt.

Beispiele

Beispiel 1: Fehlendes lineares Glied

Gegeben sei die quadratische Gleichung

\[ 3x^2 - 12 = 0 \]

mit $a=3$ und $c=-12$. Umstellen nach $x^2$ und anschließendes Ziehen der Wurzel liefert die gesuchten Lösungen:

\begin{align*} x_{1/2} &= \pm\sqrt{-\dfrac{-12}{3}} \\[0.5em] &= \pm\sqrt{4} \\[1em] \Rightarrow\quad x_1 &= -2 \\[0.5em] x_2 &= 2. \end{align*}

Beispiel 2: Fehlendes konstantes Glied

Gegeben sei die quadratische Gleichung

\[ 4x^2 - 8x = 0 \]

mit $a=4$ und $b=-8$. Ausklammern von $4x$ liefert

4x \bigl( x-2 \bigr) = 0.

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Es muss also $x=0$ oder $x-2=0$ gelten. Hieraus ergeben sich unmittelbar die gesuchten Lösungen:

\begin{align*} x_1 &= 0 \\[0.5em] x_2 &= 2. \end{align*}

Beispiel 3: Quadratische Ergänzung

Gegeben sei die quadratische Gleichung

\[ 2x^2 - 20x + 42 = 0 \]

mit $a=2$, $b=-20$ und $c=42$. Zunächst wird die Gleichung normiert und das konstante Glied auf die rechte Seite der Gleichung gebracht:

\begin{align*} x^2 - 10x + 21 &= 0 \\[0.5em] x^2 - 10x &= -21. \end{align*}

Im nächsten Schritt erfolgt die eigentliche quadratische Ergänzung, indem die linke Seite der Gleichung in die Form $x^2-2dx+d^2$ überführt wird. Aus dem linearen Glied $-10x$ lässt sich unmittelbar $d=5$ ermitteln. Addition von $d^2=25$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert

\[ x^2 - 10x + 25 = 4. \]

Mithilfe der zweiten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden:

{\bigl( x - 5 \bigr)}^2 = 4.

Ziehen der Wurzel und anschließendes Umstellen nach $x$ liefert die gesuchten Lösungen:

\begin{align*} x-5 &= \pm \sqrt{4} \\[0.5em] x_{1/2} &= 5 \pm 2 \\[1em] \Rightarrow\quad x_1 &= 3 \\[0.5em] x_2 &= 7. \end{align*}

Beispiel 4: abc-Formel

Gegeben sei die quadratische Gleichung

\[ 2x^2 - 20x + 42 = 0 \]

mit $a=2$, $b=-20$ und $c=42$. Mithilfe der abc-Formel ergibt sich:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{{\left( \frac{b}{2a} \right)}^2 - \frac{c}{a}} \\[0.5em] &= -\dfrac{-20}{2 \cdot 2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{-20}{2 \cdot 2} \right)}^2 - \dfrac{42}{2}} \\[0.5em] &= \dfrac{20}{4} \pm \sqrt{25 - 21} \\[0.5em] &= 5 \pm \sqrt{4}. \end{align*}

Da die Diskriminante $D=4$ größer als Null ist, existieren zwei reelle Lösungen für die quadratische Gleichung:

\begin{align*} x_{1/2} &= 5 \pm 2 \\[1em] \Rightarrow\quad x_1 &= 3 \\[0.5em] x_2 &= 7. \end{align*}

Beispiel 5: pq-Formel

Gegeben sei die quadratische Gleichung

\[ x^2 - 8x + 16 = 0 \]

mit $p=-8$ und $q=16$. Mithilfe der pq-Formel ergibt sich:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] &= -\dfrac{-8}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{-8}{2} \right)}^2 - 16} \\[0.5em] &= 4 \pm \sqrt{16 - 16} \\[0.5em] &= 4 \pm \sqrt{0}. \end{align*}

Da die Diskriminante $D=0$ gleich Null ist, existiert nur eine (doppelte) reelle Lösung für die quadratische Gleichung:

x_{1/2} = 4.