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Quadratische Ergänzung
Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, die unter anderem zum Lösen von quadratischen Gleichungen oder zum Bestimmen der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion verwendet werden kann. Die Grundidee der quadratischen Ergänzung ist es, einen Term mit einer quadratisch vorkommenden Variable derart umzuformen, dass ein Binom entsteht, und anschießend die erste oder zweite binomische Formel anzuwenden, um die Gleichung bzw. Funktion in die gewünschte Form zu überführen.
Beschreibung des Verfahrens
Lösen einer quadratischen Gleichung
Die quadratische Ergänzung kann verwendet werden, um die Lösungen einer quadratischen Gleichung
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
mit $a \neq 0$ zu bestimmen. Dies geschieht mit den folgenden Schritten:
- Normieren der Gleichung.
Für den Fall $a \neq 1$ wird die Gleichung zunächst normiert, indem beide Seiten der Gleichung durch $a$ geteilt werden.\[ x^2 + \dfrac{b}{a} x + \dfrac{c}{a} = 0 \] - Aufteilen der Gleichung.
Für den Fall $c \neq 0$ wird die Gleichung im nächsten Schritt aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable $x$ anhängen, auf der linken Seite der Gleichung stehen und alle konstanten Terme analog auf der rechten Seite.\[ x^2 + \dfrac{b}{a} x = -\dfrac{c}{a} \] - Quadratische Ergänzung.
Im dritten Schritt wird die linke Seite in die Form $x^2+2dx+d^2$ gebracht, sodass (abhängig vom Vorzeichen von $d$) die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Hierzu wird der Term $d^2$ auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Der Wert von $d$ kann aus der normierten Gleichung direkt abgelesen werden; es gilt $d = \frac{b}{2a}$.\[ x^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{2a} x + {\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 = {\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 - \dfrac{c}{a} \] - Anwenden der binomischen Formeln.
Mithilfe der binomischen Formeln kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden.\[ {\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)}^2 = {\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 - \dfrac{c}{a} \] - Wurzelziehen.
Im fünften Schritt wird anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.\[ x + \dfrac{b}{2a} = \pm\sqrt{{\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 - \dfrac{c}{a}} \] - Ausrechnen der Lösung.
Im letzten Schritt kann die Gleichung nach der Variable $x$ umgestellt werden. Die Lösungen ergeben sich unmittelbar durch Ausrechnen.\[ x_{1/2} = -\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 - \dfrac{c}{a}} \]Die Existenz und die Anzahl der Lösungen hängt hierbei vom Term unter der Wurzel ab:- Ist dieser kleiner als Null, so existieren keine (reellen) Lösungen.
- Ist dieser gleich Null, so existiert genau eine (doppelte) Lösung.
- Ist dieser größer als Null, so existieren zwei Lösungen.
Bestimmen der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Die quadratische Ergänzung kann verwendet werden, um die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
\[ y = ax^2 + bx + c \]
mit $a \neq 0$ zu bestimmen. Dies geschieht mit den folgenden Schritten:
- Ausklammern des Leitkoeffizienten.
Für den Fall $a \neq 1$ wird zunächst der Leitkoeffizient $a$ aus dem quadratischen und dem linearen Term ausgeklammert.\[ y = a \cdot \left( x^2 + \dfrac{b}{a} x \right) + c \] - Quadratische Ergänzung.
Im zweiten Schritt wird der eingeklammerte Term in die Form $x^2+2dx+d^2-d^2$ gebracht, sodass (abhängig vom Vorzeichen von $d$) die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Hierzu wird der Term $d^2-d^2$ in der Klammer addiert; dieser ergibt insgesamt den Wert Null und wird als nahrhafte Null oder Nullergänzung bezeichnet. Der Wert von $d$ kann aus dem geklammerten Term direkt abgelesen werden; es gilt $d = \frac{b}{2a}$.\[ y = a \cdot \left( x^2 + 2 \cdot \dfrac{b}{2a} x + {\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 - {\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 \right) + c \] - Anwenden der binomischen Formeln.
Mithilfe der binomischen Formeln kann der geklammerte Term nun (teilweise) als Quadrat geschrieben werden.\[ y = a \cdot \left( {\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)}^2 - {\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 \right) + c \] - Ausmultiplizieren und Überführen in Scheitelpunktform.
Im vierten Schritt wird der geklammerte Term zunächst ausmultipliziert und die Funktion anschließend durch Zusammenfassen und Ausrechnen in die Scheitelpunktform überführt.\begin{align*} y &= a \cdot {\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)}^2 - a \cdot {\left( \dfrac{b}{2a} \right)}^2 + c \\[0.5em] &= a \cdot {\left( x + \dfrac{b}{2a} \right)}^2 + \left( c - \dfrac{b^2}{4a} \right) \end{align*} - Ablesen des Scheitelpunkts.
An der zuvor bestimmten Scheitelpunktform der Funktion kann der Scheitelpunkt im letzten Schritt direkt abgelesen werden.\[ S \left(\left. -\dfrac{b}{2a} \ \right\vert\ c - \dfrac{b^2}{4a} \right) \]
Beispiele
Beispiel 1: Lösen einer quadratischen Gleichung
In diesem Beispiel wird die quadratische Ergänzung verwendet, um die quadratische Gleichung
\[ 2x^2 - 20x + 42 = 0 \]
zu lösen. Gemäß des beschriebenen Lösungsverfahrens werden hierzu die folgenden Schritte durchgeführt:
- Normieren der Gleichung.
Da der Koeffizient von $x^2$ ungleich Eins ist, wird die Gleichung zunächst normiert, indem sie durch den Koeffizienten $2$ geteilt wird.\[ x^2 - 10x + 21 = 0 \] - Aufteilen der Gleichung.
Da der konstante Term auf der linken Seite der Gleichung ungleich Null ist, wird die Gleichung im zweiten Schritt aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable $x$ abhängen, auf der linken Seite und alle konstanten Terme entsprechend auf der rechten Seite der Gleichung stehen. Dies kann durch Subtraktion von $21$ auf beiden Seiten der Gleichung erreicht werden.\[ x^2 - 10x = -21 \] - Quadratische Ergänzung.
Im dritten Schritt wird die linke Seite in die Form $x^2+2dx+d^2$ gebracht, indem auf beiden Seiten der Gleichung $d^2$ addiert wird. Aus $2dx=-10x$ folgt unmittelbar $d=-5$ und somit $d^2=25$.\[ x^2 - 10x + 25 = 25 - 21 \] - Anwenden der binomischen Formeln.
Mithilfe der zweiten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung nun als Quadrat geschrieben werden. (Hinweis: Für positive Koeffizienten von $x$ kann analog die erste binomische Formel verwendet werden.)\[ {\bigl( x - 5 \bigr)}^2 = 4 \] - Wurzelziehen.
Im fünften Schritt wird anschließend auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.\[ x-5 = \pm 2 \] - Ausrechnen der Lösung.
Im letzten Schritt kann die Gleichung nach der Variable $x$ umgestellt und die Lösung abgelesen werden.\begin{align*} {x}_{1/2} &= 5 \pm 2 \\[1.5em] \Rightarrow\ {x}_1 &= 3 \\[0.5em] {x}_2 &= 7 \end{align*}
Beispiel 2: Bestimmen der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
In diesem Beispiel wird die quadratische Ergänzung verwendet, um die Scheitelpunktform sowie den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion
\[ y = 3x^2 + 12x + 5 \]
zu bestimmen. Gemäß des beschriebenen Lösungsverfahrens werden hierzu die folgenden Schritte durchgeführt:
- Ausklammern des Leitkoeffizienten.
Da der Koeffizient von $x^2$ ungleich Eins ist, wird dieser zunächst aus dem quadratischen und dem linearen Term ausgeklammert.\[ y = 3 \cdot \bigl( x^2 + 4x \bigr) + 5 \] - Quadratische Ergänzung.
Im zweiten Schritt wird der eingeklammerte Term in die Form $x^2+2dx+d^2-d^2$ gebracht, indem in der Klammer $d^2-d^2$ addiert wird. Aus $2dx=4x$ folgt unmittelbar $d=2$ und somit $d^2=4$.\[ y = 3 \cdot \bigl( x^2 + 4x + 4 - 4 \bigr) + 5 \] - Anwenden der binomischen Formeln.
Mithilfe der ersten binomischen Formel kann der geklammerte Term nun (teilweise) als Quadrat geschrieben werden.\[ y = 3 \cdot \Bigl( {\bigl( x + 2 \bigr)}^2 - 4 \Bigr) + 5 \] - Ausmultiplizieren und Überführen in Scheitelpunktform.
Im vierten Schritt wird der geklammerte Term ausmultipliziert und die Funktion in die Scheitelpunktform überführt.\begin{align*} y &= 3 \cdot {\bigl( x + 2 \bigr)}^2 - 3 \cdot 4 + 5 \\[0.5em] &= 3 \cdot {\bigl( x + 2 \bigr)}^2 - 7 \end{align*} - Ablesen des Scheitelpunkts.
An der zuvor gefundenen Scheitelpunktform der Funktion kann der Scheitelpunkt im letzten Schritt direkt abgelesen werden.\[ S \bigl( -2 \ \big\vert\ {-7} \bigr) \]