Aufgaben

Rechnen mit komplexen Zahlen – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Addition von komplexen Zahlen, Subtraktion von komplexen Zahlen, Multiplikation von komplexen Zahlen, Division von komplexen Zahlen, Potenzieren von komplexen Zahlen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Rechnen mit komplexen Zahlen erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 2

Berechne den folgenden komplexen Ausdruck.

\frac{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) - \left(1 + 3\mathrm{i}\right)} \cdot \left(2 + 3\mathrm{i}\right)

Gib das Ergebnis in der Form $a+ib$ an.

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

Melde dich an, um unbegrenzt Übungsaufgaben zu erzeugen. Jetzt anmelden!

Konfiguration anpassen

Konfiguriere den Aufgabengenerator nach deinen Wünschen – von einfachen Beispielen bis zu anspruchsvollen Herausforderungen.

Typ:

Komplexe Zahlen $\C$ mit ganzzahligen Koeffizienten

Komplexe Zahlen $\C$ mit rationalen Koeffizienten

Anzahl Operanden:

–

Addition

Anzahl Summanden:

–

Häufigkeit:

Subtraktion

Häufigkeit:

Multiplikation

Anzahl Faktoren:

–

Häufigkeit:

Division

Häufigkeit:

Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!

Aufgabe lösen

Musterlösung

Bevor das Produkt $\frac{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) - \left(1 + 3\mathrm{i}\right)} \cdot \left(2 + 3\mathrm{i}\right)$ berechnet werden kann, müssen zunächst alle Faktoren ausgerechnet werden:

Ausrechnen des Faktors

\frac{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) - \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}

liefert den Wert

-5 + 2\mathrm{i}

Bevor der Quotient $\frac{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}{\left(1 + 2\mathrm{i}\right) - \left(1 + 3\mathrm{i}\right)}$ berechnet werden kann, müssen zunächst der Dividend und der Divisor berechnet werden:

Ausrechnen des Dividenten

\left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right)

liefert den Wert

2 + 5\mathrm{i}

Bei der Addition von komplexen Zahlen wird die Summe berechnet, indem die Real- und die Imaginärteile der komplexen Zahlen addiert werden.

Für die Summe $$ z_1+z_2$$ ergibt sich somit:

\begin{align*}z_1+z_2 &= \left(1 + 2\mathrm{i}\right) + \left(1 + 3\mathrm{i}\right) \\[0.75em] &= \left(1 + 1\right) + \left(2 + 3\right) \cdot i \\[0.75em] &=2 + 5\mathrm{i}\end{align*}

Ausrechnen des Divisors

\left(1 + 2\mathrm{i}\right) - \left(1 + 3\mathrm{i}\right)

liefert den Wert

-\mathrm{i}

Bei der Subtraktion von komplexen Zahlen wird die Differenz berechnet, indem die Real- und die Imaginärteile der komplexen Zahlen subtrahiert werden.

Für die Differenz $z_1-z_2$ ergibt sich somit:

\begin{align*}z_1 - z_2 &= \left(1 + 2\mathrm{i}\right) - \left(1 + 3\mathrm{i}\right) \\[0.75em] &= \left(1 - 1\right) + \left(2 - 3\right) \cdot i\\[0.75em] &=-\mathrm{i}\end{align*}

Zum Berechnen des Quotienten von $z_1$ und $z_2$ wird dieser zunächst mit $\mathrm{i}$ erweitert, um die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ unter Zuhilfenahme der Eigenschaft $\mathrm{i}^2=-1$ aus dem Nenner zu entfernen. Ausrechnen des Zählers mithilfe komplexer Multiplikation und anschließendes Zusammenfassen liefert das gesuchte Ergebnis.

Für den Quotienten $\frac{z_1}{z_2}$ ergibt sich somit:

\begin{align*}\frac{z_1}{z_2}&= \displaystyle\frac{2 + 5\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}\\[0.75em]&= \displaystyle\frac{\left(2 + 5\mathrm{i}\right) \cdot {\color{blue}\mathrm{i}}}{\left(-\mathrm{i}\right) \cdot {\color{blue}\mathrm{i}}}\\[0.75em]&= \displaystyle\frac{2i+5i^2}{-i^2}\\[0.75em]&= \frac{-5 + 2\mathrm{i}}{1}\\[0.75em]&= -5 + 2\mathrm{i}\end{align*}

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen wird das Produkt berechnet, indem die komplexen Zahlen ausmultipliziert und anschließend zusammengefasst werden. Hierbei gilt stets $\mathrm{i}^2=-1$.

Für das Produkt $z_1 \cdot z_2$ ergibt sich somit:

\begin{align*}z_1 \cdot z_2&= \left(-5 + 2\mathrm{i}\right) \cdot \left(2 + 3\mathrm{i}\right)\\[0.75em]&= -10-15i+4i+6i^2\\[0.75em]&= -16 - 11\mathrm{i}\end{align*}

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib das berechnete Ergebnis ein.