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Multiplikation von komplexen Zahlen

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen, auch komplexe Multiplikation genannt, wird das Produkt von zwei komplexen Zahlen berechnet. Dies kann in algebraischer Form geschehen, indem die komplexen Zahlen direkt ausmultipliziert werden. Die komplexe Multiplikation kann alternativ auch in Polarform durchgeführt werden, indem die Beträge der komplexen Zahlen multipliziert und ihre Argumente addiert werden. Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist assoziativ, kommutativ und distributiv über der Addition und Subtraktion. Die Eins ist das neutrale Element der komplexen Multiplikation. Zu jeder komplexen Zahl (außer Null) existiert darüber hinaus ein multiplikatives Inverses.

Definition

Komplexe Multiplikation

Bei der komplexen Multiplikation handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung $\C \times \C \rightarrow \C$ auf der Menge $\C$ der komplexen Zahlen. Sie verknüpft zwei komplexe Zahlen, die Faktoren $z_1$ und $z_2$, zu einer neuen komplexen Zahl, dem Produkt $z_1 \cdot z_2$.

Die Multiplikation von komplexen Zahlen kann sowohl in algebraischer Form als auch in Polarform durchgeführt werden.

Komplexe Multiplikation in algebraischer Form

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Das Produkt der beiden komplexen Zahlen wird wie folgt berechnet:

\[ z_1 \cdot z_2 = \bigl( a_1a_2 - b_1b_2 \bigr) + i \cdot \bigl( a_1b_2 + b_1a_2 \bigr). \]

Komplexe Multiplikation in Polarform

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in Polarform (mit $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= r_1 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1)\bigr) \\[0.5em] &= r_1 \cdot e^{i \varphi_1} \\[1em] z_2 &= r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr) \\[0.5em] &= r_2 \cdot e^{i \varphi_2}. \end{align*}

Das Produkt der beiden komplexen Zahlen kann berechnet werden, indem die Beträge multipliziert und die Argumente addiert werden:

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= r_1 \cdot r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1+\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) \bigr) \\[0.5em] &= r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}. \end{align*}
Darstellung der Multiplikation von komplexen Zahlen in Polarform
Darstellung der Multiplikation von komplexen Zahlen in Polarform

Beispiele

Beispiel 1: Multiplikation in algebraischer Form

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei komplexen Zahlen in algebraischer Form berechnet. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 1+2i \\[0.5em] z_2 &= 2+3i. \end{align*}

Das Produkt $z_1 \cdot z_2$ ergibt sich unmittelbar durch Ausmultiplizieren:

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= \bigl( 1+2i \bigr) \cdot \bigl( 2+3i \bigr) \\[0.5em] &= 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3i + 2i \cdot 2 + 2i \cdot 3i \\[0.5em] &= 2 + 3i + 4i + \underbrace{6i^2}_{=\ -6} \\[0.5em] &= -4 + 7i. \end{align*}

Beispiel 2: Multiplikation in Polarform

Im zweiten Beispiel wird das Produkt von zwei komplexen Zahlen in Polarform berechnet. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 3 \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \\[0.5em] z_2 &= 4 \cdot \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right). \end{align*}

Das Produkt $z_1 \cdot z_2$ ergibt sich, indem die Beträge der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ multipliziert und ihre Argumente addiert werden. Es gilt:

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= 3 \cdot 4 \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2}\right) \right) \\[0.5em] &= 12 \cdot \left( \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) \right). \end{align*}

Herleitung der Formeln

Herleitung in algebraischer Form

Die Formel für die Multiplikation von komplexen Zahlen in algebraischer Form kann durch direktes Nachrechnen hergeleitet werden. Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Für das Produkt $z_1 \cdot z_2$ der beiden Zahlen gilt:

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= \bigl( a_1 + ib_1 \bigr) \cdot \bigl( a_2 + ib_2 \bigr) \\[0.5em] &= a_1a_2 + a_1ib_2 + ib_1a_2 + ib_1ib_2 \\[0.5em] &= a_1a_2 + ia_1b_2 + ib_1a_2 - b_1b_2 \\[0.5em] &= \bigl( a_1a_2 - b_1b_2 \bigr) + i \cdot \bigl( a_1b_2 + b_1a_2 \bigr). \end{align*}

Herleitung in Polarform

Die Formel für die Multiplikation von komplexen Zahlen in Polarform kann durch direktes Nachrechnen unter Verwendung der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus hergeleitet werden. Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ (mit $r_1,r_2,\varphi_1,\varphi_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= r_1 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1)\bigr) \\[0.5em] z_2 &= r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr). \end{align*}

Für das Produkt $z_1 \cdot z_2$ der beiden Zahlen gilt:

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &\overset{(1)}{=} r_1 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1) + i \cdot \sin(\varphi_1)\bigr) \cdot r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_2)\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} r_1 \cdot r_2 \cdot \Bigl( \cos(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) + \cos(\varphi_1) \cdot i \cdot \sin(\varphi_2) \\[0.5em] &\qquad{}+ i \cdot \sin(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_1) \cdot i \cdot \sin(\varphi_2) \Bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} r_1 \cdot r_2 \cdot \Bigl( \underbrace{\cos(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) - \sin(\varphi_1) \cdot \sin(\varphi_2)}_{=\ \cos(\varphi_1+\varphi_2)} \\[0.5em] &\qquad{}+ i \cdot \underbrace{\bigl( \sin(\varphi_1) \cdot \cos(\varphi_2) + \cos(\varphi_1) \cdot \sin(\varphi_2) \bigr)}_{=\ \sin(\varphi_1+\varphi_2)} \Bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} r_1 \cdot r_2 \cdot \bigl( \cos(\varphi_1+\varphi_2) + i \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) \bigr). \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ durch die entsprechende Darstellung in Polarform
(2)
(3)
  • Gruppieren nach Real- und Imaginärteil
(4)
  • Anwenden der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Eigenschaften

Assoziativität

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist assoziativ. Für $z_1,z_2,z_3 \in \C$ gilt:

\[ \bigl( z_1 \cdot z_2 \bigr) \cdot z_3 = z_1 \cdot \bigl( z_2 \cdot z_3 \bigr). \]

Hinweis: Wie bei assoziativen Verknüpfungen üblich, kann für die komplexe Multiplikation auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Der Beweis der Assoziativität der Multiplikation von komplexen Zahlen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 = \bigl(a_1,b_1\bigr) \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2 = \bigl(a_2,b_2\bigr) \\[0.5em] z_3 &= a_3 + ib_3 = \bigl(a_3,b_3\bigr). \end{align*}

Für das Produkt von $z_1$, $z_2$ und $z_3$ gilt:

\begin{align*} \bigl( z_1 \cdot z_2 \bigr) \cdot z_3 &\overset{(1)}{=} \Bigl( \bigl(a_1,b_1\bigr) \cdot \bigl(a_2,b_2\bigr) \Bigr) \cdot \bigl(a_3,b_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a_1a_2-b_1b_2,\ a_1b_2+b_1a_2\bigr) \cdot \bigl(a_3,b_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl((a_1a_2-b_1b_2)a_3 - (a_1b_2+b_1a_2)b_3,\ (a_1a_2-b_1b_2)b_3 + (a_1b_2+b_1a_2)a_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl( a_1a_2a_3 - b_1b_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3,\ a_1a_2b_3 - b_1b_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3 \bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \bigl( a_1(a_2a_3 - b_2b_3) - b_1(a_2b_3 + b_2a_3),\ a_1(a_2b_3 + b_2a_3) + b_1(a_2a_3 - b_2b_3) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \bigl(a_1,b_1\bigr) \cdot \bigl(a_2a_3-b_2b_3,\ a_2b_3+b_2a_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} \bigl(a_1,b_1\bigr) \cdot \Bigl( \bigl(a_2,b_2\bigr) \cdot \bigl(a_3,b_3\bigr) \Bigr) \\[0.5em] &\overset{(8)}{=} z_1 \cdot \bigr( z_2 \cdot z_3 \bigr). \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z_1$, $z_2$ und $z_3$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $z_1 \cdot z_2$ gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
  • Ausrechnen von $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3$ gemäß Definition der komplexen Multiplikation
(4)
(5)
(6)
  • Aufteilen des Produkts $z_1 \cdot \bigl(z_2 \cdot z_3\bigr)$ auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der komplexen Multiplikation
(7)
  • Aufteilen des Produkts $z_2 \cdot z_3$ auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(8)
  • Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen $z_1$, $z_2$ und $z_3$

Kommutativität

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist kommutativ. Für $z_1,z_2 \in \C$ gilt:

\[ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1. \]

Der Beweis der Kommutativität der Multiplikation von komplexen Zahlen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 = \bigl(a_1,b_1\bigr) \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2 = \bigl(a_2,b_2\bigr). \end{align*}

Für das Produkt von $z_1$ und $z_2$ gilt:

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &\overset{(1)}{=} \bigl(a_1,b_1\bigr) \cdot \bigl(a_2,b_2\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl( a_1a_2-b_1b_2,\ a_1b_2+b_1a_2 \bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl( a_2a_1-b_2b_1,\ a_2b_1+b_2a_1 \bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl(a_2,b_2\bigr) \cdot \bigl(a_1,b_1\bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} z_2 \cdot z_1. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $z_1 \cdot z_2$ gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
  • Die Gleichheit $a_1a_2-b_1b_2=a_2a_1-b_2b_1$ gilt aufgrund der Kommutativität der Multiplikation von reellen Zahlen
  • Die Gleichheit $a_1b_2+b_1a_2=a_2b_1+b_2a_1$ gilt aufgrund der Kommutativität der Addition und Multiplikation von reellen Zahlen
(4)
  • Aufteilen des Produkts $z_2 \cdot z_1$ auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(5)
  • Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$

Distributivität

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist distributiv über der komplexen Addition und der komplexen Subtraktion. Für $z_1,z_2,z_3 \in \C$ gilt:

\begin{align*} z_1 \cdot \bigl( z_2 \pm z_3 \bigr) &= z_1 \cdot z_2 \pm z_1 \cdot z_3 \\[0.5em] \bigl( z_1 \pm z_2 \bigr) \cdot z_3 &= z_1 \cdot z_3 \pm z_2 \cdot z_3. \end{align*}

Der Beweis der Distributivität der Multiplikation von komplexen Zahlen über der Addition und Subtraktion kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 = \bigl(a_1,b_1\bigr) \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2 = \bigl(a_2,b_2\bigr) \\[0.5em] z_3 &= a_3 + ib_3 = \bigl(a_3,b_3\bigr). \end{align*}

Die Linksdistributivität der Multiplikation von komplexen Zahlen über der Addition bzw. Subtaktion kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} z_1 \cdot \bigl( z_2 \pm z_3 \bigr) &\overset{(1)}{=} \bigl(a_1,b_1\bigr) \cdot \Bigl( \bigl(a_2,b_2\bigr) \pm \bigl(a_3,b_3 \bigr) \Bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a_1,b_1\bigr) \cdot \bigl(a_2 \pm a_3,\ b_2 \pm b_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl( a_1 \cdot (a_2 \pm a_3) - b_1 \cdot (b_2 \pm b_3),\ a_1 \cdot (b_2 \pm b_3) + b_1 \cdot (a_2 \pm a_3) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl( a_1a_2 \pm a_1a_3 - b_1b_2 \mp b_1b_3,\ a_1b_2 \pm a_1b_3 + b_1a_2 \pm b_1a_3 \bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \bigl( (a_1a_2 - b_1b_2) \pm (a_1a_3 - b_1b_3),\ (a_1b_2 + b_1a_2) \pm (a_1b_3 + b_1a_3) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \bigl( a_1a_2 - b_1b_2,\ a_1b_2 + b_1a_2 \bigr) \pm \bigl( a_1a_3 - b_1b_3,\ a_1b_3 + b_1a_3 \bigr) \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} \bigl( a_1,b_1 \bigr) \cdot \bigl( a_2,b_2 \bigr) \pm \bigl( a_1,b_1 \bigr) \cdot \bigl( a_3,b_3 \bigr) \\[0.5em] &\overset{(8)}{=} z_1 \cdot z_2 \pm z_1 \cdot z_3 \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z_1$, $z_2$ und $z_3$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $z_2 \pm z_3$ gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen
(3)
  • Ausrechnen von $z_1 \cdot (z_2 \pm z_3)$ gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(4)
  • Für die reelle Multiplikation gilt in Kombination mit der reellen Addition und der reellen Subtraktion das Distributivgesetz, woraus unmittelbar die Gleichheit von $ a_1 \cdot (a_2 \pm a_3) - b_1 \cdot (b_2 \pm b_3)$ und $a_1a_2 \pm a_1a_3 - b_1b_2 \mp b_1b_3$ folgt
  • Analog gilt die Gleichheit von $a_1 \cdot (b_2 \pm b_3) + b_1 \cdot (a_2 \pm a_3)$ und $a_1b_2 \pm a_1b_3 + b_1a_2 \pm b_1a_3$
(5)
  • Umsortieren der Ausdrücke mithilfe der Kommutativgesetze für reelle Zahlen
  • Klammern für bessere Übersichtlichkeit
(6)
  • Aufteilen des Terms auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von komplexen Zahlen
(7)
  • Aufteilen des Produkts $z_1 \cdot z_2$ auf zwei separate Faktoren $z_1$ und $z_2$ mithilfe der Definition der komplexen Multiplikation
  • Analog: Aufteilen des Produkts $z_1 \cdot z_3$ auf zwei separate Faktoren $z_1$ und $z_3$
(8)
  • Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen $z_1$, $z_2$ und $z_3$

Hinweis: Der Nachweis der Rechtsdistributivität erfolgt analog. Die Gültigkeit folgt alternativ auch über die Linksdistributivität und die Kommutativität der Multiplikation.

Neutrales Element

Die komplexe Zahl $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation von komplexen Zahlen; es gilt:

\[ 1 \cdot z = z = z \cdot 1. \]

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a,b \in \R$):

\begin{align*} \begin{alignedat}{3} z &= a + ib &&= \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] 1 &= 1 + 0i &&= \bigl(1,0\bigr). \end{alignedat} \end{align*}

Die komplexe Zahl $1$ ist linksneutral bezüglich der Multiplikation, denn es gilt:

\begin{align*} 1 \cdot z &\overset{(1)}{=} \bigl(1,0\bigr) \cdot \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(1 \cdot a - 0 \cdot b,\ 1 \cdot b + 0 \cdot a \bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} z. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die komplexe Zahl $1$ bezüglich der Multiplikation ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Multiplikation von komplexen Zahlen:

\begin{align*} z \cdot 1 &\overset{(1)}{=} \bigl(a,b\bigr) \cdot \bigl(1,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a \cdot 1 - b \cdot 0,\ a \cdot 0 + b \cdot 1\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} z. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z$ und $1$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $1 \cdot z$ bzw. $z \cdot 1$ gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
  • Die Gleichheit $1 \cdot a - 0 \cdot b = a$ bzw. $a \cdot 1 - b \cdot 0 = a$ gilt aufgrund der Eigenschaften, dass es sich bei $0$ um ein absorbierendes Element der Multiplikation reeller Zahlen handelt, dass es sich bei $0$ um das additive neutrale Element und bei $1$ um das multiplikative neutrale Element der reellen Zahlen handelt
  • Die Gleichheit $1 \cdot b + 0 \cdot a = b$ bzw. $a \cdot 0 + b \cdot 1 = b$ gilt analog
(4)
  • Ersetzen des Paars reeller Zahlen durch die komplexe Zahl $z$

Inverses Element

Das inverse Element einer komplexen Zahl $z$ bezüglich der Multiplikation von komplexen Zahlen ist die komplexe Zahl $z^{-1}$ mit

\begin{align*} z^{-1} = \frac{1}{z} &= \frac{1}{a+ib} \\[0.5em] &= \frac{a}{a^2+b^2} - i \cdot \frac{b}{a^2+b^2}. \end{align*}

Es gilt:

\[ z^{-1} \cdot z = 1 = z \cdot z^{-1}. \]

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a,b \in \R$):

\begin{align*} z &= a + ib = \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] z^{-1} &= \frac{a}{a^2+b^2} - i \cdot \frac{b}{a^2+b^2} \\[0.5em] &= \left(\frac{a}{a^2+b^2}, -\frac{b}{a^2+b^2}\right). \end{align*}

Die komplexe Zahl $z^{-1}$ ist bezüglich der Multiplikation linksinvers zur komplexen Zahl $z$, denn es gilt:

\begin{align*} z^{-1} \cdot z &\overset{(1)}{=} \left(\frac{a}{a^2+b^2},\ -\frac{b}{a^2+b^2}\right) \cdot \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \left(\frac{a}{a^2+b^2} \cdot a - \left(-\frac{b}{a^2+b^2}\right) \cdot b,\ \frac{a}{a^2+b^2} \cdot b + \left(-\frac{b}{a^2+b^2}\right) \cdot a\right) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2},\ \frac{ab-ba}{a^2+b^2} \right) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl(1,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} 1. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die komplexe Zahl $z^{-1}$ bezüglich der Multiplikation ebenfalls rechtsinvers zur komplexen Zahl $z$ ist, und dass es sich somit um das multiplikative Inverse handelt:

\begin{align*} z \cdot z^{-1} &\overset{(1)}{=} \bigl(a,b\bigr) \cdot \left(\frac{a}{a^2+b^2},\ -\frac{b}{a^2+b^2}\right) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \left(a \cdot \frac{a}{a^2+b^2} - b \cdot \left(-\frac{b}{a^2+b^2}\right),\ a \cdot \left(-\frac{b}{a^2+b^2}\right) + b \cdot \frac{a}{a^2+b^2} \right) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2},\ \frac{-ab+ba}{a^2+b^2} \right) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl(1,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} 1. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z$ und $z^{-1}$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $z^{-1} \cdot z$ bzw. $z \cdot z^{-1}$ gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
  • Ausrechnen und (teilweises) Zusammenfassen
(4)
  • Kürzen und Vereinfachen
(5)
  • Ersetzen des Paars $\bigl(1,0\bigr)$ durch die komplexe Zahl $1$