Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen wird das Produkt berechnet, indem die komplexen Zahlen in algebraischer Form ausmultipliziert werden. In Polarform kann das Produkt von komplexen Zahlen berechnet werden, indem ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert werden.
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Herleitung der Formeln
Multiplikation in algebraischer Form
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)):
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \R\)), die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden:
Ausklammern der Faktoren \(a_1\) und \(\pm b_1\) mithilfe der Distributivgesetze für reelle Zahlen
Umsortieren einiger Summanden mithilfe der Kommutativität der Addition von reellen Zahlen
(6)
Aufteilen des Produkts \(z_1 \cdot \bigl(z_2 \cdot z_3\bigr)\) auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(7)
Aufteilen des Produkts \(z_2 \cdot z_3\) auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(8)
Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen \(z_1\), \(z_2\) und \(z_3\)
Kommutativität
Die Multiplikation von komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) ist kommutativ; es gilt:
\[ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1. \]
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)), die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden:
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
Ausrechnen von \(z_1 \cdot z_2\) gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \(a_1a_2-b_1b_2=a_2a_1-b_2b_1\) gilt aufgrund der Kommutativität der Multiplikation von reellen Zahlen
Die Gleichheit \(a_1b_2+b_1a_2=a_2b_1+b_2a_1\) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition und Multiplikation von reellen Zahlen
(4)
Aufteilen des Produkts \(z_2 \cdot z_1\) auf zwei separate Faktoren mithilfe der Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(5)
Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\)
Neutrales Element
Die komplexe Zahl \(1\) ist das neutrale Element der Multiplikation von komplexen Zahlen; es gilt:
\[ 1 \cdot z = z = z \cdot 1. \]
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a,b \in \R\)), die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden:
\begin{align*} \begin{alignedat}{3} z &= a + ib &&= \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] 1 &= 1 + 0i &&= \bigl(1,0\bigr). \end{alignedat} \end{align*}
Die komplexe Zahl \(1\) ist linksneutral bezüglich der Multiplikation, denn es gilt:
\begin{align*} 1 \cdot z &\overset{(1)}{=} \bigl(1,0\bigr) \cdot \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(1 \cdot a - 0 \cdot b, 1 \cdot b + 0 \cdot a \bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} z. \end{align*}
Analog kann gezeigt werden, dass die komplexe Zahl \(1\) bezüglich der Multiplikation ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Multiplikation von komplexen Zahlen:
\begin{align*} z \cdot 1 &\overset{(1)}{=} \bigl(a,b\bigr) \cdot \bigl(1,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a \cdot 1 - b \cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} z. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z\) und \(1\) durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
Ausrechnen von \(1 \cdot z\) bzw. \(z \cdot 1\) gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \(1 \cdot a - 0 \cdot b = a\) bzw. \(a \cdot 1 - b \cdot 0 = a\) gilt aufgrund der Eigenschaften, dass es sich bei \(0\) um ein absorbierendes Element der Multiplikation reeller Zahlen handelt, dass es sich bei \(0\) um das additive neutrale Element und bei \(1\) um das multiplikative neutrale Element der reellen Zahlen handelt
Die Gleichheit \(1 \cdot b + 0 \cdot a = b\) bzw. \(a \cdot 0 + b \cdot 1 = b\) gilt analog
(4)
Ersetzen des Paars reeller Zahlen durch die komplexe Zahl \(z\)
Inverses Element
Das inverse Element einer komplexen Zahl \(z\) bezüglich der Multiplikation von komplexen Zahlen ist die komplexe Zahl \(z^{-1}\) mit
Analog kann gezeigt werden, dass die komplexe Zahl \(z^{-1}\) bezüglich der Multiplikation ebenfalls rechtsinvers zur komplexen Zahl \(z\) ist, und dass es sich somit um das multiplikative Inverse handelt:
\begin{align*} z \cdot z^{-1} &\overset{(1)}{=} \bigl(a,b\bigr) \cdot \left(\frac{a}{a^2+b^2}, -\frac{b}{a^2+b^2}\right) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \left(a \cdot \frac{a}{a^2+b^2} - b \cdot \left(-\frac{b}{a^2+b^2}\right), a \cdot \left(-\frac{b}{a^2+b^2}\right) + b \cdot \frac{a}{a^2+b^2} \right) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}, \frac{-ab+ba}{a^2+b^2} \right) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl(1,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} 1. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z\) und \(z^{-1}\) durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
Ausrechnen von \(z^{-1} \cdot z\) bzw. \(z \cdot z^{-1}\) gemäß Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
(3)
Ausrechnen und (teilweises) Zusammenfassen
(4)
Kürzen und Vereinfachen
(5)
Ersetzen des Paars \(\bigl(1,0\bigr)\) durch die komplexe Zahl \(1\)
