Die Addition von komplexen Zahlen in Polarform ist nicht direkt möglich. Die zu addierenden Zahlen müssen zunächst in die algebraische Form umgerechnet und dann addiert werden. Bei Bedarf kann die Summe anschließend wieder in die Polarform überführt werden.
Beispiele
Beispiel 1
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form:
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \R\)), die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden:
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\), \(z_2\) und \(z_3\) durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
Ausrechnen von \(z_1+z_2\) gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(3)
Ausrechnen von \((z_1+z_2)+z_3\) gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(4)
Die Gleichheit \((a_1+a_2)+a_3=a_1+(a_2+a_3)\) gilt aufgrund der Assoziativität der Addition von reellen Zahlen
Die Gleichheit \((b_1+b_2)+b_3=b_1+(b_2+b_3)\) gilt aufgrund der Assoziativität der Addition von reellen Zahlen
(5)
Aufteilen der Summe \(z_1+\bigl(z_2+z_3\bigr)\) auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von komplexen Zahlen
(6)
Aufteilen der Summe \(z_2+z_3\) auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von komplexen Zahlen
(7)
Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen \(z_1\), \(z_2\) und \(z_3\)
Kommutativität
Die Addition von komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) ist kommutativ; es gilt:
\[ z_1 + z_2 = z_2 + z_1. \]
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R\)), die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden:
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
Ausrechnen von \(z_1+z_2\) gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \(a_1+a_2=a_2+a_1\) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition von reellen Zahlen
Die Gleichheit \(b_1+b_2=b_2+b_1\) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition von reellen Zahlen
(4)
Aufteilen der Summe \(z_2+z_1\) auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von komplexen Zahlen
(5)
Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen \(z_1\) und \(z_2\)
Neutrales Element
Die komplexe Zahl \(0\) ist das neutrale Element der Addition von komplexen Zahlen; es gilt:
\[ 0 + z = z = z + 0. \]
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a,b \in \R\)), die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden:
\begin{align*} \begin{alignedat}{3} z &= a + ib &&= \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] 0 &= 0 + 0i &&= \bigl(0,0\bigr). \end{alignedat} \end{align*}
Die komplexe Zahl \(0\) ist linksneutral bezüglich der Addition, denn es gilt:
\begin{align*} 0 + z &\overset{(1)}{=} \bigl(0,0\bigr) + \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(0+a,0+b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} z. \end{align*}
Analog kann gezeigt werden, dass die komplexe Zahl \(0\) bezüglich der Addition ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Addition von komplexen Zahlen:
\begin{align*} z + 0 &\overset{(1)}{=} \bigl(a,b\bigr) + \bigl(0,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a+0,b+0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} z. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z\) und \(0\) durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
Ausrechnen von \(0+z\) bzw. \(z+0\) gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \(0+a=a\) bzw. \(a+0=a\) gilt aufgrund der Eigenschaft, dass es sich bei \(0\) um das additive neutrale Element der reellen Zahlen handelt.
Die Gleichheit \(0+b=b\) bzw. \(b+0=b\) gilt aufgrund der Eigenschaft, dass es sich bei \(0\) um das additive neutrale Element der reellen Zahlen handelt.
(4)
Ersetzen des Paars reeller Zahlen durch die komplexe Zahl \(z\)
Inverses Element
Das inverse Element einer komplexen Zahl \(z=a+ib\) bezüglich der Addition von komplexen Zahlen ist die komplexe Zahl \(-z=-a-ib\); es gilt:
\[ (-z) + z = 0 = z + (-z). \]
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen (mit \(a,b \in \R\)), die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden:
\begin{align*} \begin{alignedat}{3} z &= a + ib &&= \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] -z &= -a - ib &&= \bigl(-a,-b\bigr). \end{alignedat} \end{align*}
Die komplexe Zahl \(-z\) ist bezüglich der Addition linksinvers zur komplexen Zahl \(z\), denn es gilt:
Ersetzen der komplexen Zahlen \(z\) und \(-z\) durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
Ausrechnen von \((-z)+z\) bzw. \(z+(-z)\) gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(3)
Die Gleichheit \((-a)+a=0\) bzw. \(a+(-a)=0\) gilt aufgrund der Eigenschaft, dass es sich bei \(-a\) um das additive inverse Element der reellen Zahl \(a\) handelt.
Die Gleichheit \((-b)+b=0\) bzw. \(b+(-b)=0\) gilt aufgrund der Eigenschaft, dass es sich bei \(-b\) um das additive inverse Element der reellen Zahl \(b\) handelt.
(4)
Ersetzen des Paars \(\bigl(0,0\bigr)\) durch die komplexe Zahl \(0\)
