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Addition von komplexen Zahlen

Bei der Addition von komplexen Zahlen, auch komplexe Addition genannt, wird die Summe von zwei oder mehreren komplexen Zahlen berechnet, indem ihre Real- sowie ihre Imaginärteile addiert werden. Die Addition von komplexen Zahlen ist assoziativ und kommutativ. Die Null ist das neutrale Element der komplexen Addition; die negierten Zahlen sind die additiven inversen Elemente.

Definition

Komplexe Addition

Bei der komplexen Addition handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung $\C \times \C \rightarrow \C$ auf der Menge $\C$ der komplexen Zahlen. Sie verknüpft zwei komplexe Zahlen, die Summanden $z_1$ und $z_2$, zu einer neuen komplexen Zahl, der Summe $z_1+z_2$.

Die Addition von komplexen Zahlen kann in algebraischer Form durchgeführt werden. Komplexe Zahlen in Polarform müssen zunächst umgerechnet werden, bevor sie addiert werden können.

Komplexe Addition in algebraischer Form

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Form (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2. \end{align*}

Die Summe der beiden komplexen Zahlen wird berechnet, indem ihre Real- sowie ihre Imaginärteile addiert werden:

\[ z_1 + z_2 = \bigl( a_1+a_2 \bigr) + i \cdot \bigl( b_1+b_2 \bigr). \]

Komplexe Addition in Polarform

Die Addition von komplexen Zahlen in Polarform ist nicht direkt möglich. Die zu addierenden Zahlen müssen zunächst in die algebraische Form umgerechnet und dann addiert werden. Bei Bedarf kann die Summe anschließend wieder in die Polarform überführt werden.

Beispiele

Beispiel 1: Addition von zwei komplexen Zahlen

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Summe von zwei komplexen Zahlen in algebraischer Form berechnet. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 1+2i \\[0.5em] z_2 &= 2+3i. \end{align*}

Die Summe $z_1+z_2$ ergibt sich, indem die Real- sowie die Imaginärteile der beiden komplexen Zahlen addiert werden. Es gilt:

\begin{align*} z_1 + z_2 &= \bigl( 1+2i \bigr) + \bigl( 2+3i \bigr) \\[0.5em] &= \bigl( 1+2 \bigr) + \bigl( 2+3 \bigr)i \\[0.5em] &= 3 + 5i. \end{align*}

Beispiel 2: Addition von drei komplexen Zahlen

Im zweiten Beispiel wird die Summe von drei komplexen Zahlen in algebraischer Form berechnet. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:

\begin{align*} z_1 &= 5+2i \\[0.5em] z_2 &= 3-3i \\[0.5em] z_3 &= 1+i. \end{align*}

Die Summe $z_1+z_2+z_3$ ergibt sich, indem die Real- sowie die Imaginärteile der komplexen Zahlen addiert werden. Es gilt:

\begin{align*} z_1 + z_2 + z_3 &= \bigl( 5+2i \bigr) + \bigl( 3-3i \bigr) + \bigl( 1+i \bigr) \\[0.5em] &= \bigl( 5+3+1 \bigr) + \bigl( 2+(-3)+1 \bigr)i \\[0.5em] &= 9 + 0i \\[0.5em] &= 9. \end{align*}

Eigenschaften

Assoziativität

Die Addition von komplexen Zahlen ist assoziativ. Für $z_1,z_2,z_3 \in \C$ gilt:

\[ \bigl( z_1 + z_2 \bigr) + z_3 = z_1 + \bigl( z_2 + z_3 \bigr). \]

Hinweis: Wie bei assoziativen Verknüpfungen üblich, kann für die komplexe Addition auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Der Beweis der Assoziativität der Addition von komplexen Zahlen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \R$):

\begin{align*} z_1 &= a_1 + ib_1 = \bigl(a_1,b_1\bigr) \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2 = \bigl(a_2,b_2\bigr) \\[0.5em] z_3 &= a_3 + ib_3 = \bigl(a_3,b_3\bigr). \end{align*}

Für die Summe von $z_1$, $z_2$ und $z_3$ gilt:

\begin{align*} \bigl( z_1+z_2 \bigr) + z_3 &\overset{(1)}{=} \Bigl( \bigl(a_1,b_1\bigr) + \bigl(a_2,b_2\bigr) \Bigr) + \bigl(a_3,b_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a_1+a_2,\ b_1+b_2\bigr) + \bigl(a_3,b_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl((a_1+a_2)+a_3,\ (b_1+b_2)+b_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl(a_1+(a_2+a_3),\ b_1+(b_2+b_3)\bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \bigl(a_1,b_1\bigr) + \bigl(a_2+a_3,\ b_2+b_3\bigr) \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \bigl(a_1,b_1\bigr) + \Bigl( \bigl(a_2,b_2\bigr) + \bigl(a_3,b_3\bigr) \Bigr) \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} z_1 + \bigl( z_2+z_3 \bigr). \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z_1$, $z_2$ und $z_3$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $z_1+z_2$ gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(3)
  • Ausrechnen von $(z_1+z_2)+z_3$ gemäß Definition der komplexen Addition
(4)
(5)
  • Aufteilen der Summe $z_1+\bigl(z_2+z_3\bigr)$ auf zwei separate Summanden $z_1$ und $z_2+z_3$ mithilfe der Definition der komplexen Addition
(6)
  • Aufteilen der Summe $z_2+z_3$ auf zwei separate Summanden $z_2$ und $z_3$ mithilfe der Definition der Addition von komplexen Zahlen
(7)
  • Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen $z_1$, $z_2$ und $z_3$

Kommutativität

Die Addition von komplexen Zahlen ist kommutativ. Für $z_1,z_2 \in \C$ gilt:

\[ z_1 + z_2 = z_2 + z_1. \]

Der Beweis der Kommutativität der Addition von komplexen Zahlen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \R$):

\begin{align*} \begin{alignedat}{3} z_1 &= a_1 + ib_1 &&= \bigl(a_1,b_1\bigr) \\[0.5em] z_2 &= a_2 + ib_2 &&= \bigl(a_2,b_2\bigr). \end{alignedat} \end{align*}

Für die Summe von $z_1$ und $z_2$ gilt:

\begin{align*} z_1 + z_2 &\overset{(1)}{=} \bigl(a_1,b_1\bigr) + \bigl(a_2,b_2\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a_1+a_2,\ b_1+b_2\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a_2+a_1,\ b_2+b_1\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl(a_2,b_2\bigr) + \bigl(a_1,b_1\bigr) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} z_2 + z_1. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $z_1+z_2$ gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(3)
(4)
  • Aufteilen der Summe $z_2+z_1$ auf zwei separate Summanden $z_2$ und $z_1$ mithilfe der Definition der Addition von komplexen Zahlen
(5)
  • Ersetzen der Paare reeller Zahlen durch die komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$

Neutrales Element

Die komplexe Zahl $0$ ist das neutrale Element der Addition von komplexen Zahlen; es gilt:

\[ 0 + z = z = z + 0. \]

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a,b \in \R$):

\begin{align*} \begin{alignedat}{3} z &= a + ib &&= \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] 0 &= 0 + 0i &&= \bigl(0,0\bigr). \end{alignedat} \end{align*}

Die komplexe Zahl $0$ ist linksneutral bezüglich der Addition, denn es gilt:

\begin{align*} 0 + z &\overset{(1)}{=} \bigl(0,0\bigr) + \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(0+a,\ 0+b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} z. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die komplexe Zahl $0$ bezüglich der Addition ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Addition von komplexen Zahlen:

\begin{align*} z + 0 &\overset{(1)}{=} \bigl(a,b\bigr) + \bigl(0,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a+0,\ b+0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} z. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z$ und $0$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $0+z$ bzw. $z+0$ gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(3)
  • Die Gleichheit $0+a=a$ bzw. $a+0=a$ gilt aufgrund der Eigenschaft, dass es sich bei $0$ um das additive neutrale Element der reellen Zahlen handelt
  • Die Gleichheit $0+b=b$ bzw. $b+0=b$ gilt analog
(4)
  • Ersetzen des Paars reeller Zahlen durch die komplexe Zahl $z$

Inverses Element

Das inverse Element einer komplexen Zahl $z=a+ib$ bezüglich der Addition von komplexen Zahlen ist die komplexe Zahl $-z=-a-ib$; es gilt:

\[ \bigl( -z \bigr) + z = 0 = z + \bigl( -z \bigr). \]

Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen, die zur besseren Übersichtlichkeit als Paare von reellen Zahlen dargestellt werden (mit $a,b \in \R$):

\begin{align*} \begin{alignedat}{3} z &= a + ib &&= \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] -z &= -a - ib &&= \bigl(-a,-b\bigr). \end{alignedat} \end{align*}

Die komplexe Zahl $-z$ ist bezüglich der Addition linksinvers zur komplexen Zahl $z$, denn es gilt:

\begin{align*} (-z) + z &\overset{(1)}{=} \bigl(-a,-b\bigr) + \bigl(a,b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl((-a)+a,\ (-b)+b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(0,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} 0. \end{align*}

Analog kann gezeigt werden, dass die komplexe Zahl $-z$ bezüglich der Addition ebenfalls rechtsinvers zur komplexen Zahl $z$ ist:

\begin{align*} z + (-z) &\overset{(1)}{=} \bigl(a,b\bigr) + \bigl(-a,-b\bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl(a+(-a),\ b+(-b)\bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl(0,0\bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} 0. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der komplexen Zahlen $z$ und $-z$ durch die entsprechenden Paare reeller Zahlen
(2)
  • Ausrechnen von $(-z)+z$ bzw. $z+(-z)$ gemäß Definition der Addition von komplexen Zahlen
(3)
  • Die Gleichheit $(-a)+a=0$ bzw. $a+(-a)=0$ gilt aufgrund der Eigenschaft, dass es sich bei $-a$ um das additive inverse Element der reellen Zahl $a$ handelt
  • Die Gleichheit $(-b)+b=0$ bzw. $b+(-b)=0$ gilt analog
(4)
  • Ersetzen des Paars $\bigl(0,0\bigr)$ durch die komplexe Zahl $0$