Diagonalisierbare Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator

Zum Überprüfen auf Diagonalisierbarkeit müssen zunächst die Eigenwerte der Matrix sowie die zugehörigen Eigenvektoren bzw. Eigenräume bestimmt werden.

Berechnung der Eigenwerte

Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.

Bestimmung des charakteristischen Polynoms

Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristische Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:

\[\begin{align*}
\chi_A(\lambda)
&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]
&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]
&= \det\begin{bmatrix} \lambda - 7 & 10 \\ -5 & \lambda + 8 \end{bmatrix}
\end{align*}\]

Die Determinante kann direkt berechnet werden:

\[\begin{align*} \det(A) &= \left(\lambda - 7\right) \cdot \left(\lambda + 8\right) - 10 \cdot \left(-5\right)\\[0.5em] &= \lambda^2 + \lambda - 6 \end{align*}\]

Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:

\[\chi_A(\lambda) = \lambda^2 + \lambda - 6\]

Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.

\[\lambda^2 + \lambda - 6 = 0\]

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.
   

   Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {\lambda}^2 + p \lambda + q = 0$ vor.

   \[\begin{align*}
   \lambda^2 + \lambda - 6 &= 0
   \end{align*}\]

   Es gilt $p=1$ und $q=-6$.

2. Anwenden der pq-Formel.
   

   Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

   \[\begin{align*}
   {\lambda}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
   &= -\,\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^2}{4} - \left(-6\right)} \\[0.5em]
   &= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}
   \end{align*}\]
3. Ausrechnen der Lösung.
   

   Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

   \[\begin{align*}
   {\lambda}_{1/2} &= -\frac{1}{2} \pm \frac{5}{2} \\[1.5em]
   \implies {\lambda}_1 &= -3 \\[0.5em]
   {\lambda}_2 &= 2
   \end{align*}\]

   Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.

Die Matrix besitzt somit die folgenden ganzzahligen Eigenwerte:

\[\begin{align*}
\lambda_{1} &= -3 \\[0.5em]
\lambda_{2} &= 2
\end{align*}\]

Berechnung der Eigenvektoren bzw. Eigenräume

Mithilfe der Eigenwerte der Matrix können die zugehörigen Eigenvektoren berechnet werden.

Berechnung der Eigenvektoren des Eigenwerts $\lambda_{1} = -3$

Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{1} = -3$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:

\[\begin{align*}
\bigl(A - \lambda_{1} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix} - \left(-3\right) \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 5 & -5 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]

Lösen des linearen Gleichungssystems

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rr|r}10 & -10 & 0 \\ 5 & -5 & 0 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rr|r|l}
10 & -10 & 0 & \text{I} \cdot \frac{1}{10} \\[0.25em]
5 & -5 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
5 & -5 & 0 & \text{II} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_2 \in \Q$ verwendet.

\[\begin{align*}
v_2 &= \mu_2 \\[1em]
v_1 &= 0+v_2 \\[0.5em]
&= 0+\mu_2 \\[0.5em]
&= \mu_2
\end{align*}\]

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

\[v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \mu_2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{1} = -3$:

\[b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,-3)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.

Berechnung der Eigenvektoren des Eigenwerts $\lambda_{2} = 2$

Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{2} = 2$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:

\[\begin{align*}
\bigl(A - \lambda_{2} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} 5 & -10 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]

Lösen des linearen Gleichungssystems

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rr|r}5 & -10 & 0 \\ 5 & -10 & 0 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rr|r|l}
5 & -10 & 0 & \text{I} \cdot \frac{1}{5} \\[0.25em]
5 & -10 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 0 & \\[0.25em]
5 & -10 & 0 & \text{II} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_2 \in \Q$ verwendet.

\[\begin{align*}
v_2 &= \mu_2 \\[1em]
v_1 &= 0+2v_2 \\[0.5em]
&= 0+2\mu_2 \\[0.5em]
&= 2\mu_2
\end{align*}\]

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

\[v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \mu_2 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{2} = 2$:

\[b = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,2)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.

Bei den Hauptdiagonalelementen der Matrix $D$ handelt es sich um die Eigenwerte der ursprünglichen Matrix; bei den Spalten der Matrix $S$ handelt es sich um die Basisvektoren der zugehörigen Eigenräume. Hierbei gilt:

• Handelt es sich beim $i$-ten Hauptdiagonalelement der Matrix $D$ um den Eigenwert $\lambda$, so muss die $i$-te Spalte der Matrix $S$ ein Basisvektor des zugehörigen Eigenraums $\operatorname{Eig}(A,\lambda)$ sein.
• Für mehrfach vorkommende Eigenwerte gilt analog: Handelt es sich exemplarisch beim $i$-ten und $k$-ten Hauptdiagonalelement der Matrix $D$ um denselben Eigenwert $\lambda$, dann müssen die $i$-te und $k$-te Spalte der Matrix $S$ zwei linear unabhängige Basisvektoren des zugehörigen Eigenraums sein.

Für die gesuchte Diagonalmatrix $D$ und die gesuchte reguläre Matrix $S$ ergibt sich somit:

Für die inverse Matrix $S^{-1}$ gilt der Vollständigkeit halber dann:

Da eine Diagonalmatrix $D$ und eine invertierbare Matrix $S$ existieren, sodass $D = S^{-1}AS$ gilt, ist die Matrix $A$ diagonalisierbar.

Gib zunächst an, ob die Matrix $A$ diagonalisierbar ist oder nicht.

Gib die berechneten Matrizen $D$ und $S$ ein, für die $D = S^{-1}AS$ gilt.