Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Diagonalisierbare Matrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.
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Beispielaufgaben
Beispielaufgaben
Aufgabe 1 von 3
Gegeben sei die nachfolgende Matrix $A$ mit Koeffizienten aus $ \Q$.
Entscheide, ob diese Matrix diagonalisierbar ist. Gib im Falle der Diagonalisierbarkeit zwei ganzzahlige Matrizen – eine Diagonalmatrix $D$ sowie eine invertierbare Matrix $S$ – an, sodass $D = S^{-1}AS$ gilt.
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Gib zunächst die Zahlenbereiche an, aus denen die Elemente der Matrix sowie die Elemente der Ergebnismatrizen stammen sollen:
Gib die Matrix $A$ ein, die auf Diagonalisierbarkeit überprüft werden soll, indem zwei Matrizen – eine Diagonalmatrix $D$ sowie eine invertierbare Matrix $S$ – bestimmt werden, sodass $D = S^{-1}AS$ gilt.
Bei den Hauptdiagonalelementen der Matrix $D$ handelt es sich um die Eigenwerte der ursprünglichen Matrix; bei den Spalten der Matrix $S$ handelt es sich um die Basisvektoren der zugehörigen Eigenräume. Hierbei gilt:
Handelt es sich beim $i$-ten Hauptdiagonalelement der Matrix $D$ um den Eigenwert $\lambda$, so muss die $i$-te Spalte der Matrix $S$ ein Basisvektor des zugehörigen Eigenraums $\operatorname{Eig}(A,\lambda)$ sein.
Für mehrfach vorkommende Eigenwerte gilt analog: Handelt es sich exemplarisch beim $i$-ten und $k$-ten Hauptdiagonalelement der Matrix $D$ um denselben Eigenwert $\lambda$, dann müssen die $i$-te und $k$-te Spalte der Matrix $S$ zwei linear unabhängige Basisvektoren des zugehörigen Eigenraums sein.
Für die gesuchte Diagonalmatrix $D$ und die gesuchte reguläre Matrix $S$ ergibt sich somit:
