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Diagonalmatrix

Bei einer Diagonalmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring mit Eins oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei einer Diagonalmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix $D \in \mathcal{R}^{n \times n}$ mit

D = \begin{bmatrix} d_{11} & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & d_{22} & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & d_{nn} \end{bmatrix},

bei der alle Einträge $d_{ij}$ mit $i \neq j$, also alle Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich $0_\mathcal{R}$ sind.

Diagonalmatrizen werden häufig durch ihre Hauptdiagonalelemente angegeben.

\begin{align*} D &= \diag\bigl(d_1, d_2, \ldots, d_n\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} d_1 & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & d_2 & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & d_n \end{bmatrix} \end{align*}

Eine Diagonalmatrix ist stets eine symmetrische Matrix sowie eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix.

Beispiele

Beispiel 1

Bei der folgenden Matrix $D_1 \in \Z^{2 \times 2}$ handelt es sich um eine Diagonalmatrix.

\begin{align*} D_1 &= \diag\bigl(1,5\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\[0.25em] 0 & 5 \end{bmatrix} \end{align*}

Beispiel 2

Bei der folgenden Matrix $D_2 \in \Z^{4 \times 4}$ handelt es sich um eine Diagonalmatrix.

\begin{align*} D_2 &= \diag\bigl(2,0,-1,3\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & -1 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \end{align*}

Hinweis: Der zweite Diagonaleintrag ist bewusst als $0$ gewählt, um zu zeigen, dass es keine Einschränkungen bei den Diagonalelementen gibt.

Spezielle Diagonalmatrizen

Einheitsmatrix

Bei der Einheitsmatrix $E_n \in \mathcal{R}^{n \times n}$ handelt es sich um eine spezielle Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle $1_\mathcal{R}$ sind.

\begin{align*} E_n &= \diag\bigl(1_\mathcal{R}, \ldots, 1_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 1_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 1_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Nullmatrix

Bei der quadratischen Nullmatrix $0_{nn} \in \mathcal{R}^{n \times n}$ handelt es sich um eine spezielle Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle $0_\mathcal{R}$ sind.

\begin{align*} 0_{nn} &= \diag\bigl(0_\mathcal{R}, \ldots, 0_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Skalarmatrix

Bei einer Skalarmatrix $S \in \mathcal{R}^{n \times n}$ handelt es sich um eine Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle übereinstimmen.

\begin{align*} S &= \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} \lambda & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & \lambda \end{bmatrix} \end{align*}

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Bei der Menge der $n \times n$ Diagonalmatrizen handelt es sich um einen kommutativen Unterring des Matrizenrings der quadratischen $n \times n$ Matrizen.

Addition, Subtraktion & Multiplikation von Diagonalmatrizen

Die Matrizenaddition, Matrizensubtraktion und Matrizenmultiplikation von Diagonalmatrizen erfolgt, indem die jeweiligen Hauptdiagonalelemente addiert, subtrahiert bzw. multipliziert werden.

\begin{align*} \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \pm \diag\bigl(d_1', \ldots, d_n'\bigr) &= \diag\bigl(d_1 \pm d_1', \ldots, d_n \pm d_n'\bigr) \\[0.5em] \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \cdot \diag\bigl(d_1', \ldots, d_n'\bigr) &= \diag\bigl(d_1 \cdot d_1', \ldots, d_n \cdot d_n'\bigr) \end{align*}

Die Ergebnismatrix ist stets wieder eine Diagonalmatrix.

Potenzen von Diagonalmatrizen

Das Potenzieren einer Diagonalmatrix $D$ erfolgt, indem die Hauptdiagonalelemente potenziert werden. Für $k \in \N$ gilt:

D^k = \diag\bigl(d_1^k, \ldots, d_n^k\bigr).

Multiplikation mit einer Diagonalmatrix

Für die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix $D$ gelten die folgenden Eigenschaften:

Die Multiplikation einer Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ von links mit einer Diagonalmatrix (also $D \cdot A$) entspricht der Multiplikation der Zeilen von $A$ mit den jeweiligen Hauptdiagonalelementen von $D$. $D \cdot A = \begin{bmatrix} \quad — & d_1 \cdot z_1 & — \quad \\[0.25em] & \vdots & \\[0.25em] \quad — & d_m \cdot z_m & — \quad \end{bmatrix}$
Die Multiplikation einer Matrix $A \in \mathcal{R}^{m \times n}$ von rechts mit einer Diagonalmatrix (also $A \cdot D$) entspricht der Multiplikation der Spalten von $A$ mit den jeweiligen Hauptdiagonalelementen von $D$. $A \cdot D = \begin{bmatrix} \mid & & \mid \\[0.25em] d_1 \cdot s_1 & \cdots & d_n \cdot s_n \\[0.25em] \mid & & \mid \end{bmatrix}$

Inverse Matrix

Eine Diagonalmatrix $D$ ist genau dann invertierbar, wenn keines der Hauptdiagonalelemente $0_\mathcal{R}$ ist, wenn also alle Hauptdiagonalelemente ein multiplikatives inverses Element besitzen. Für die inverse Matrix $D^{-1}$ gilt:

\begin{align*} D^{-1} &= {\diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr)}^{-1} \\[0.5em] &= \diag\bigl(d_1^{-1}, \ldots, d_n^{-1}\bigr). \end{align*}

Die inverse Matrix ist selbst wieder eine Diagonalmatrix.

Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix $D^T$ einer Diagonalmatrix $D$ entspricht der Diagonalmatrix selbst. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Eigenschaft, dass eine Diagonalmatrix $D$ eine symmetrische Matrix ist.

\begin{align*} D^T &= {\diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr)}^T \\[0.5em] &= \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \\[0.5em] &= D \end{align*}

Determinante

Die Determinante einer Diagonalmatrix $D$ kann direkt als Produkt der Hauptdiagonalelemente berechnet werden.

\begin{align*} \det(D) &= \det \bigl( \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \bigr) \\[0.5em] &= d_1 \cdot \ldots \cdot d_n \\[0.5em] &= \prod\limits_{i=1}^{n}{d_i} \end{align*}

Spur

Die Spur einer Diagonalmatrix $D$ kann direkt als Summe der Hauptdiagonalelemente berechnet werden.

\begin{align*} \spur(D) &= \spur \bigl( \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \bigr) \\[0.5em] &= d_1 + \ldots + d_n \\[0.5em] &= \sum\limits_{i=1}^{n}{d_i} \end{align*}

Eigenwerte und Eigenvektoren

Bei den Eigenwerten einer Diagonalmatrix $D = \diag(d_1,\ldots,d_n)$ handelt es sich um die Hauptdiagonalelemente $d_1,\ldots,d_n$ selbst. Die (algebraische) Vielfachheit der Eigenwerte entspricht der Anzahl, wie oft sie auf der Hauptdiagonalen vorkommen.

Bei den Eigenvektoren handelt es sich um die kanonischen Einheitsvektoren. Hierbei gilt, dass der Einheitsvektor $e_i$ der Eigenvektor des Eigenwerts $d_i$ ist. Bei mehrfach vorkommenden Diagonalelementen handelt es sich bei den Eigenvektoren um den Unterraum, der durch die entsprechenden Einheitsvektoren aufgespannt wird.

Diagonalisierbarkeit

Hauptartikel: Diagonalisierbare Matrix

Eine quadratische Matrix $A \in \mathcal{R}^{n \times n}$ heißt diagonalisierbar (auch diagonalähnlich), falls eine Diagonalmatrix $D \in \mathcal{R}^{n \times n}$ existiert, die ähnlich zu $A$ ist – falls also eine reguläre Matrix $S \in \mathcal{R}^{n \times n}$ existiert, so dass gilt:

D = S^{-1} A S.