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Diagonalmatrix

Bei einer Diagonalmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind.

Inhalt

Definition
Beispiele
Spezielle Diagonalmatrizen
Eigenschaften
Diagonalisierbarkeit

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl \(n \in \N\) sowie ein Ring mit Eins oder Körper \(\mathcal{R}\), aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei einer Diagonalmatrix handelt es sich um eine quadratische Matrix \(D \in \mathcal{R}^{n \times n}\) mit

D = \begin{bmatrix} d_{11} & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & d_{22} & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & d_{nn} \end{bmatrix},

bei der alle Einträge \(d_{ij}\) mit \(i \neq j\), also alle Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich \(0_\mathcal{R}\) sind.

Diagonalmatrizen werden häufig durch ihre Hauptdiagonalelemente angegeben.

\begin{align*} D &= \diag\bigl(d_1, d_2, \ldots, d_n\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} d_1 & 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & d_2 & \ddots & \vdots \\[0.25em] \vdots & \ddots & \ddots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} & d_n \end{bmatrix} \end{align*}

Eine Diagonalmatrix ist stets eine symmetrische Matrix sowie eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix.

Beispiele

Beispiel 1

Bei der folgenden Matrix \(D_1 \in \Z^{2 \times 2}\) handelt es sich um eine Diagonalmatrix.

\begin{align*} D_1 &= \diag\bigl(1,5\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\[0.25em] 0 & 5 \end{bmatrix} \end{align*}

Beispiel 2

Bei der folgenden Matrix \(D_2 \in \Z^{4 \times 4}\) handelt es sich um eine Diagonalmatrix.

\begin{align*} D_2 &= \diag\bigl(2,0,-1,3\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & -1 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \end{align*}

Spezielle Diagonalmatrizen

Einheitsmatrix

Bei der Einheitsmatrix \(E_n \in \mathcal{R}^{n \times n}\) handelt es sich um eine spezielle Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle \(1_\mathcal{R}\) sind.

\begin{align*} E_n &= \diag\bigl(1_\mathcal{R}, \ldots, 1_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 1_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 1_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Nullmatrix

Bei der Nullmatrix \(0_{nn} \in \mathcal{R}^{n \times n}\) handelt es sich um eine spezielle Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle \(0_\mathcal{R}\) sind.

\begin{align*} 0_{nn} &= \diag\bigl(0_\mathcal{R}, \ldots, 0_\mathcal{R}\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & 0_\mathcal{R} \end{bmatrix} \end{align*}

Skalarmatrix

Bei einer Skalarmatrix \(S \in \mathcal{R}^{n \times n}\) handelt es sich um eine Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente alle übereinstimmen.

\begin{align*} S &= \diag\bigl(\lambda, \ldots, \lambda\bigr) \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} \lambda & \cdots & 0_\mathcal{R} \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] 0_\mathcal{R} & \cdots & \lambda \end{bmatrix} \end{align*}

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

Bei der Menge der \(n \times n\) Diagonalmatrizen handelt es sich um einen kommutativen Unterring des Matrizenrings der quadratischen \(n \times n\) Matrizen.

Addition, Subtraktion & Multiplikation von Diagonalmatrizen

Die Addition, Subtraktion und Multiplikation von Diagonalmatrizen erfolgt, indem die jeweiligen Hauptdiagonalelemente addiert, subtrahiert bzw. multipliziert werden.

\begin{align*} \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \pm \diag\bigl(d_1', \ldots, d_n'\bigr) &= \diag\bigl(d_1 \pm d_1', \ldots, d_n \pm d_n'\bigr) \\[0.5em] \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \cdot \diag\bigl(d_1', \ldots, d_n'\bigr) &= \diag\bigl(d_1 \cdot d_1', \ldots, d_n \cdot d_n'\bigr) \end{align*}

Die Ergebnismatrix ist stets wieder eine Diagonalmatrix.

Multiplikation mit einer Diagonalmatrix

Für die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix \(D\) gelten die folgenden Eigenschaften:

Die Multiplikation einer Matrix \(A\) von links mit einer Diagonalmatrix (also \(D \cdot A\)) entspricht der Multiplikation der Zeilen von \(A\) mit den jeweiligen Hauptdiagonalelementen von \(D\).
Die Multiplikation einer Matrix \(A\) von rechts mit einer Diagonalmatrix (also \(A \cdot D\)) entspricht der Multiplikation der Spalten von \(A\) mit den jeweiligen Hauptdiagonalelementen von \(D\).

Inverse Matrix

Eine Diagonalmatrix \(D\) ist genau dann invertierbar, wenn keines der Hauptdiagonalelemente \(0_\mathcal{R}\) ist, wenn also alle Hauptdiagonalelemente ein multiplikatives inverses Element besitzen. Für die inverse Matrix \(D^{-1}\) gilt:

\begin{align*} D^{-1} &= {\diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr)}^{-1} \\[0.5em] &= \diag\bigl(d_1^{-1}, \ldots, d_n^{-1}\bigr). \end{align*}

Die inverse Matrix ist selbst wieder eine Diagonalmatrix.

Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix \(D^T\) einer Diagonalmatrix \(D\) entspricht der Diagonalmatrix selbst.

\begin{align*} D^T &= {\diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr)}^T \\[0.5em] &= \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \\[0.5em] &= D \end{align*}

Determinante

Die Determinante einer Diagonalmatrix \(D\) kann direkt als Produkt der Hauptdiagonalelemente berechnet werden.

\begin{align*} \det(D) &= \det \bigl( \diag\bigl(d_1, \ldots, d_n\bigr) \bigr) \\[0.5em] &= d_1 \cdot \ldots \cdot d_n \\[0.5em] &= \prod\limits_{i=1}^{n}{d_i} \end{align*}

Eigenwerte und Eigenvektoren

Bei den Eigenwerten einer Diagonalmatrix \(D = \diag(d_1,\ldots,d_n)\) handelt es sich um die Hauptdiagonalelemente \(d_1,\ldots,d_n\) selbst. Die (algebraische) Vielfachheit der Eigenwerte entspricht der Anzahl, wie oft sie auf der Hauptdiagonalen vorkommen.

Diagonalisierbarkeit

Hauptartikel: Diagonalisierbare Matrix

Eine quadratische Matrix \(A \in \mathcal{R}^{n \times n}\) heißt diagonalisierbar (auch diagonalähnlich), falls eine Diagonalmatrix \(D \in \mathcal{R}^{n \times n}\) existiert, die ähnlich zu \(A\) ist – falls also eine reguläre Matrix \(S \in \mathcal{R}^{n \times n}\) existiert, so dass gilt:

D = S^{-1} A S.