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Aufgaben

pq-Formel – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: pq-Formel

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema pq-Formel erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Die ausgewählten Beispiele ermöglichen es dir, einige Generator-Konfigurationen und die verfügbare Unterstützung beim Lösen der Aufgaben unverbindlich und in aller Ruhe kennenzulernen.

Aufgabe 1 von 5

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der pq-Formel.

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Aufgabe 2 von 5

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der pq-Formel.

\[2x^2 + 5x + 1 = 2x + 3\]

Aufgabe 3 von 5

Bestimme die rationalen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der pq-Formel.

\[x^2 + 2x + \frac{5}{4} = 0\]

Aufgabe 4 von 5

Bestimme die komplexen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der pq-Formel.

\[x^2 + 2x + \frac{5}{4} = 0\]

Aufgabe 5 von 5

Bestimme die komplexen Lösungen der nachfolgenden quadratischen Gleichung mithilfe der pq-Formel.

\[x^2 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\mathrm{i}\]
Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Der Aufgabengenerator ermöglicht es dir, beliebig viele, an deine individuellen Bedürfnisse angepasste Aufgaben zu generieren, um dich perfekt mit dem Thema vertraut zu machen.

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Hier könnte deine generierte Aufgabe stehen!
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Gib an, aus welchen Zahlenbereichen die Koeffizienten der Gleichung sowie die zu bestimmenden Lösungen stammen sollen.

Gib die quadratische Gleichung ein, deren rationale Lösungen mithilfe der pq-Formel berechnet werden sollen.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung: Beispielaufgabe 1 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 - 5x + 6 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=-5$ und $q=6$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^2}{4} - 6} \\[0.5em]
    &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= 3
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 2 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Zunächst wird die quadratische Gleichung zusammengefasst und in die normierte Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ überführt.

    \[\begin{align*}
    2x^2 + 3x - 2 &= 0 \\[0.5em]
    x^2 + \frac{3}{2}x - 1 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=\frac{3}{2}$ und $q=-1$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{\frac{3}{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{4} - \left(-1\right)} \\[0.5em]
    &= -\frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{25}{16}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{3}{4} \pm \frac{5}{4} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= -2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= \frac{1}{2}
    \end{align*}\]

    Es handelt sich nur bei der ersten Lösung um eine ganzzahlige Lösung.

Musterlösung: Beispielaufgabe 3 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 + 2x + \frac{5}{4} &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=2$ und $q=\frac{5}{4}$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{2}{2} \pm \sqrt{\frac{2^2}{4} - \frac{5}{4}} \\[0.5em]
    &= -1 \pm \sqrt{-\frac{1}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – kleiner als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen – und somit auch keine rationalen Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 4 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 + 2x + \frac{5}{4} &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=2$ und $q=\frac{5}{4}$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{2}{2} \pm \sqrt{\frac{2^2}{4} - \frac{5}{4}} \\[0.5em]
    &= -1 \pm \sqrt{-\frac{1}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – kleiner als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei konjugiert komplexe Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -1 \pm \frac{1}{2}\mathrm{i} \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= -1 - \frac{1}{2}\mathrm{i} \\[0.5em]
    {x}_2 &= -1 + \frac{1}{2}\mathrm{i}
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um komplexe Lösungen.

Musterlösung: Beispielaufgabe 5 von 5

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Zunächst wird die quadratische Gleichung zusammengefasst und in die normierte Form $ {x}^2 + p x + q = 0$ überführt.

    \[\begin{align*}
    x^2 + \left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)x - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\mathrm{i} &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt $p=-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}$ und $q=-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\mathrm{i}$.

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\,\frac{-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\mathrm{i}\right)}^2}{4} - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\mathrm{i}\right)} \\[0.5em]
    &= \frac{1}{4} + \frac{2}{3}\mathrm{i} \pm \sqrt{-\frac{7}{144} - \frac{1}{6}\mathrm{i}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – ungleich Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei komplexe Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\mathrm{i}\right) \pm \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\mathrm{i}\right) \\[1.5em]
    \implies {x}_1 &= \mathrm{i} \\[0.5em]
    {x}_2 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\mathrm{i}
    \end{align*}\]
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 1 von 5

Gib zunächst die Anzahl der ganzzahligen Lösungen ein.

Gib die gefundenen ganzzahligen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 2 von 5

Gib zunächst die Anzahl der ganzzahligen Lösungen ein.

Gib die gefundenen ganzzahligen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 3 von 5

Gib zunächst die Anzahl der rationalen Lösungen ein.

Gib die gefundenen rationalen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 4 von 5

Gib zunächst die Anzahl der komplexen Lösungen ein.

Gib die gefundenen komplexen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$

Eigene Lösung überprüfen: Beispielaufgabe 5 von 5

Gib zunächst die Anzahl der komplexen Lösungen ein.

Gib die gefundenen komplexen Lösungen ein.

\[x_1=\]
$ 0$
\[x_2=\]
$ 0$