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pq-Formel

Bei der pq-Formel handelt es sich um eine allgemeine Lösungsformel zum Lösen von normierten quadratischen Gleichungen. Es handelt sich um einen Spezialfall der abc-Formel für allgemeine quadratische Gleichungen. Die pq-Formel kann beispielsweise mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.

Definition

Die pq-Formel ist eine allgemeine Lösungsformel, um alle Lösungen einer normierten quadratischen Gleichung

\[ x^2 + px + q = 0 \]

zu bestimmen. Für die Lösungen der Gleichung gilt:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] &= -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\dfrac{p^2}{4} - q} \\[0.5em] &= \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}. \end{align*}

Bei der pq-Formel handelt es sich um einen Spezialfall der abc-Formel, der bei normierten quadratischen Gleichungen verwendet werden kann. Ist die quadratische Gleichung nicht normiert, so kann die pq-Formel nicht angewendet werden, ohne die Gleichung zunächst zu normieren.

Anzahl der Lösungen

Reelle Lösungen einer reellen quadratischen Gleichung

Eine quadratische Gleichung $x^2 + px + q = 0$ mit reellen Koeffizienten $p,q \in \R$ kann keine, eine oder zwei reelle Lösungen besitzen. Die Anzahl der Lösungen ist abhängig vom Term unter der Wurzel – der Diskriminante $D$. Die Gleichung besitzt

zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $D \gt 0$ gilt: $x_{1/2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q}.$
eine (doppelte) reelle Lösung, falls $D = 0$ gilt: $x_{1/2} = -\dfrac{p}{2}.$
keine reellen Lösungen, falls $D \lt 0$ gilt.

Hinweis: Eine Diskriminante ist ein Term, mit dessen Hilfe eine Unterscheidung möglich ist, nicht der Term unter der Wurzel per se; dieser wird Radikand genannt.

Komplexe Lösungen einer reellen quadratischen Gleichung

Eine quadratische Gleichung $x^2 + px + q = 0$ mit reellen Koeffizienten $p,q \in \R$ besitzt stets zwei komplexe Lösungen. Abhängig von der Diskriminante $D$ gilt: Die Gleichung besitzt

zwei verschiedene reelle Lösungen, falls $D \gt 0$ gilt: $x_{1/2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q}.$
eine (doppelte) reelle Lösung, falls $D = 0$ gilt: $x_{1/2} = -\dfrac{p}{2}.$
zwei verschiedene komplexe Lösungen, falls $D \lt 0$ gilt: $\begin{align*} x_{1/2} &= -\dfrac{p}{2} \pm i \cdot \sqrt{\left| {\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q \right|} \\[0.5em] &= -\dfrac{p}{2} \pm i \cdot \sqrt{q - {\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2}. \end{align*}$

Lösungen einer komplexen quadratischen Gleichung

Eine quadratische Gleichung $x^2 + px + q = 0$ mit komplexen Koeffizienten $p,q \in \C$ besitzt stets zwei komplexe Lösungen, die sich mithilfe der komplexen Wurzeln der (komplexen) Diskriminante ergeben:

x_{1/2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q}.

Herleitung der pq-Formel

Herleitung mithilfe der quadratischen Ergänzung

Die pq-Formel kann mithilfe quadratischer Ergänzung hergeleitet werden. Gegeben sei eine quadratische Gleichung

\[ x^2 + px + q = 0. \]

Zunächst wird die Gleichung aufgeteilt, sodass alle Terme, die von der Variable $x$ abhängen, auf der linken Seite der Gleichung stehen, und alle konstanten Terme auf der rechten Seite.

\[ x^2 + px = -q \]

Anschließend wird die linke Seite in die Form $x^2+2dx+d^2$ gebracht. Hierzu wird der Term $d^2$ auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Der Wert von $d$ kann aus der zuvor normierten Gleichung direkt abgelesen werden; es gilt $d=\frac{p}{2}$.

x^2 + 2 \cdot \dfrac{p}{2}x + {\left(\dfrac{p}{2}\right)}^2 = {\left(\dfrac{p}{2}\right)}^2 - q

Mithilfe der ersten binomischen Formel kann die linke Seite der Gleichung im nächsten Schritt direkt zu einem Quadrat umgeschrieben werden.

{\left( x + \dfrac{p}{2} \right)}^2 = {\left(\dfrac{p}{2}\right)}^2 - q

Im vorletzten Schritt wird nun auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen, wobei potenziell zwei Lösungen entstehen – eine positive und eine negative Lösung.

x + \dfrac{p}{2} = \pm \sqrt{{\left(\dfrac{p}{2}\right)}^2 - q}

Abschließendes Umstellen nach $x$ liefert die gesuchten Lösungen.

x_{1/2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ {\left(\dfrac{p}{2}\right)}^2 - q}

Herleitung mithilfe der abc-Formel

Die pq-Formel kann mithilfe der abc-Formel hergeleitet werden. Gegeben sei eine quadratische Gleichung

\[ x^2 + px + q = 0. \]

Einsetzen in die abc-Formel mit $a=1$, $b = p$ und $c = q$ liefert die gesuchten Lösungen:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{{\left( \frac{b}{2a} \right)}^2 - \dfrac{c}{a}} \\[0.5em] &= -\frac{p}{2 \cdot 1} \pm \sqrt{{\left( \frac{p}{2 \cdot 1} \right)}^2 - \dfrac{q}{1}} \\[0.5em] &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{p}{2} \right)}^2 - q} \end{align*}

Varianten der pq-Formel

Es existieren verschiedene äquivalente Varianten der pq-Formel, die durch Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln und Potenzen ineinander überführt werden können.

\begin{align*} x_{1/2} &\overset{(1)}{=} -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2-4q}{4}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} -\frac{p}{2} \pm \frac{\sqrt{p^2-4q}}{\sqrt{4}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} -\frac{p}{2} \pm \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitete Formel
(2)	Anwenden von Potenzgesetz II-b zum Ausrechnen des Quadrats in der Wurzel
(3)	Auffassen von $q$ als Bruch $\frac{q}{1}$ und Erweitern mit $4$ Zusammenfassen der beiden Brüche unter der Wurzel
(4)	Anwenden von Wurzelgesetz I-b zum Aufteilen der Wurzel des Quotienten auf den Quotienten von zwei Wurzeln
(5)	Ausrechnen von $\sqrt{4}$
(6)	Zusammenfassen der beiden Brüche

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die quadratische Gleichung

\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]

mit $p=-6$ und $q=8$. Mithilfe der pq-Formel ergibt sich:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] &= -\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{-6}{2} \right)}^2 - 8} \\[0.5em] &= 3 \pm \sqrt{9 - 8} \\[0.5em] &= 3 \pm \sqrt{1}. \end{align*}

Da die Diskriminante $D=1$ größer als Null ist, existieren zwei verschiedene reelle Lösungen für die quadratische Gleichung:

\begin{align*} x_{1/2} &= 3 \pm1 \\[1em] \Rightarrow\quad x_1 &= 2 \\[0.5em] x_2 &= 4. \end{align*}

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Beispiel 2

Gegeben sei die quadratische Gleichung

\[ x^2 - 6x + 9 = 0 \]

mit $p=-6$ und $q=9$. Mithilfe der pq-Formel ergibt sich:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] &= -\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{-6}{2} \right)}^2 - 9} \\[0.5em] &= 3 \pm \sqrt{9 - 9} \\[0.5em] &= 3 \pm \sqrt{0}. \end{align*}

Da die Diskriminante $D=0$ gleich Null ist, existiert nur eine (doppelte) reelle Lösung für die quadratische Gleichung:

x_{1/2} = 3.

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Beispiel 3

Gegeben sei die quadratische Gleichung

\[ x^2 + 2x + 2 = 0 \]

mit $p=2$ und $q=2$. Mithilfe der pq-Formel ergibt sich:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] &= -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{2}{2} \right)}^2 - 2} \\[0.5em] &= -1 \pm \sqrt{1 - 2} \\[0.5em] &= -1 \pm \sqrt{-1} \\[0.5em] \end{align*}

Da die Diskriminante $D=-1$ kleiner als Null ist, existieren keine reellen Lösungen für die quadratische Gleichung.

Im Bereich der komplexen Zahlen ist die Gleichung hingegen lösbar und es gilt:

\begin{align*} x_{1/2} &= -1 \pm i \cdot \sqrt{1} \\[1em] \Rightarrow\quad x_1 &= -1 - i \\[0.5em] x_2 &= -1 + i. \end{align*}

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