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Betrag (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Betragsfunktion kann intervallweise durch Auflösen des Betrags hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Betragsfunktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert werden:

|x| = \begin{cases} -x & \text{, für } x \lt 0 \\[0.75em] \phantom{-}x & \text{, für } x \geq 0 \end{cases}

Ableitungsregel

Die Ableitung der Betragsfunktion kann lediglich intervallweise definiert werden, da die Betragsfunktion an der Stelle $x_0=0$ nicht differenzierbar ist. Die Ableitung kann für reelle Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ |x| \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ |x| \Bigr] \\[0.75em] &= \begin{cases} -1 & \text{, falls } x \lt 0 \\[0.75em] \phantom{-}1 & \text{, falls } x \gt 0 \end{cases} \end{align*}

Die Ableitung der Betragsfunktion kann (für $x \neq 0$) alternativ auch wie folgt dargestellt werden:

\begin{align*} {\Bigl[ |x| \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ |x| \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{x}{|x|} \\[0.75em] &= \sgn(x) \quad(\text{für } x \neq 0) \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich um die Vorzeichenfunktion.

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Betragsfunktion geschieht intervallweise für die beiden Fälle $x \lt 0$ und $x \gt 0$. In beiden Fällen kann der Betrag aufgelöst und der enthaltene Term abgeleitet werden. Für $x \lt 0$ gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ |x| \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \Bigl[ -x \Bigr] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} -1 \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Auflösen des Betrags für den Fall $x \lt 0$
(2)	Anwenden der Ableitungsregel der Potenzfunktion

Der Fall $x \gt 0$ funktioniert analog:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ |x| \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \Bigl[ x \Bigr] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} 1 \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Auflösen des Betrags für den Fall $x \gt 0$
(2)	Anwenden der Ableitungsregel der Potenzfunktion

In beiden Fällen handelt es sich bei der Ableitung folglich um die Werte $\pm 1$, abhängig vom Vorzeichen von $x$. Dies kann alternativ wie folgt dargestellt werden:

\begin{align*} {\Bigl[ |x| \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ |x| \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{x}{|x|} \\[0.75em] &= \sgn(x) \quad(\text{für } x \neq 0) \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Betragsfunktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = |4x| \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ |4x| \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{4x}{|4x|} \cdot {\Bigl[ 4x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{4x}{|4x|} \cdot 4 \\[0.75em] &= \frac{4x}{|x|} \\[0.75em] &= 4 \cdot \sgn(x) \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Betragsfunktion bestimmt werden soll:

g(x) = \left| x^3 \right|

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \left| x^3 \right| \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{x^3}{\left|x^3\right|} \cdot {\Bigl[ x^3 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{x^3}{\left|x^3\right|} \cdot 3x^2 \\[0.75em] &= 3x^2 \cdot \sgn(x) \\[0.75em] &= 3 \cdot x \cdot |x| \end{align*}