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Areasinus hyperbolicus (Funktion)

Die Areasinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arsinh, asinh; manchmal auch sinh^-1) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion der Sinus-hyperbolicus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet.

Definition

Bei der Areasinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arsinh, asinh; manchmal auch sinh^-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Sinus-hyperbolicus-Funktion. Sie ordnet dem Sinus hyperbolicus eines Werts wieder den ursprünglichen Wert zu. (Hinweis: Da die sinh Funktion bijektiv ist, kann sie auf ihrem kompletten Definitionsbereich umgekehrt werden.)

Die Areasinus-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\arsinh(x) = \ln{\left( x + \sqrt{x^2+1} \right)}.

Hierbei gilt:

Die Areasinus-hyperbolicus-Funktion ist für alle Werte $x \in \R$ definiert.
Bei $\arsinh(x)$ handelt es sich um einen Wert $y \in \R$ im Intervall $\bigl( -\infty, \infty \bigr)$.

Zusammengefasst: Die Areasinus-hyperbolicus-Funktion $\arsinh(x)$ gibt den Wert $y$ im Intervall $\bigl( -\infty, \infty \bigr)$ an, für den der Sinus hyperbolicus den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Areasinus-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$-\infty \lt \arsinh(x) \lt \infty$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	streng konvex für $x \lt 0$ streng konkav für $x \gt 0$
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$f(x) \rightarrow -\ln(-2x)$ für $x \rightarrow -\infty$ $f(x) \rightarrow \ln(2x)$ für $x \rightarrow \infty$
Nullstellen	$x_0 = 0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	$x_0 = 0$

Ableitung

Hauptartikel: Areasinus hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Areasinus-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arsinh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arsinh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Areasinus hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areasinus-hyperbolicus-Funktion lautet:

\int{\arsinh(x)\ dx} = x \cdot \arsinh(x) - \sqrt{x^2 + 1} + \mathcal{C} \\[0.75em]

Weitere Stammfunktionen:

\int{\arsinh^n(x)\ dx} = x \cdot \arsinh^n(x) - n \cdot \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) + n \cdot (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Areasinus hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Areasinus-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arsinh(x) &= \ln(2x) + \sum\limits_{k=1}^{\infty}{{(-1)}^{k-1} \frac{(2k-1)!!}{2k \cdot (2k)!!} \cdot x^{-2k}} \\[0.75em] &= \ln(2x) + \frac{1}{4} x^{-2} - \frac{3}{32} x^{-4} + \frac{5}{96} x^{-6} - \frac{35}{1024} x^{-8} + \ldots \end{align*}

Für $|x| \lt 1$ existiert darüber hinaus die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arsinh(x) &= \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{P_{k-1}(0)}{k} \cdot x^k} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{{(-1)}^k \cdot \frac{{\left( \frac{1}{2} \right)}_k}{(2k+1) \cdot k!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{{(-1)}^k \cdot \frac{(2k)!}{(2k+1) \cdot 2^{2k} \cdot {(k!)}^2} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{{(-1)}^k \cdot \frac{(2k-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 - \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Areasinus-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Areafunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arsinh(x) &= \sgn(x) \cdot \arcosh\left( \sqrt{x^2+1} \right) \\[0.75em] &= \artanh\left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\[0.75em] &= \arcoth\left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arsech\left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\[0.75em] &= \arcsch\left( \frac{1}{x} \right) \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.