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Areasinus hyperbolicus
Areasinus hyperbolicus (abgekürzt: $\arsinh$, $\asinh$; manchmal auch $\sinh^{-1}$) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion von Sinus hyperbolicus.
Definition
Die Funktion $\arsinh$ lässt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \arsinh(x) := \ln{\left( x + \sqrt{x^2+1} \right)} \]
Hierbei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus.
Funktionsgraph
Eigenschaften
| Definitionsbereich |
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|---|---|
| Wertebereich |
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| Periodizität |
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| Monotonie |
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| Krümmung |
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| Symmetrien |
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| Asymptoten |
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| Nullstellen |
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| Sprungstellen |
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| Polstellen |
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| Extrema |
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| Wendepunkte |
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Ableitung
Die Ableitung von Areasinus hyperbolicus lautet:
\[ \Bigl[ \arsinh(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arsinh(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \]
Stammfunktion
Die Stammfunktion von Areasinus hyperbolicus lautet:
\begin{align*} \int{\arsinh(x)\ dx} &= x \cdot \arsinh(x) - \sqrt{x^2 + 1} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\arsinh^n(x)\ dx} &= x \cdot \arsinh^n(x) - n \cdot \sqrt{x^2 + 1} \cdot \arsinh^{n-1}(x) + n \cdot (n-1) \cdot \int{\arsinh^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}
Reihenentwicklung
Die Reihenentwicklung von Areasinus hyperbolicus ist
\begin{align*} \arsinh(x) &= \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{P_{k-1}(0)}{k} \cdot x^k} \\[0.75em] &= \frac{1}{2} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{{(-1)}^n \cdot \frac{{\left( \frac{1}{2} \right)}_n}{(2k+1) \cdot k!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 - \frac{5}{112} x^7 + \frac{35}{1152} x^9 - \ldots \end{align*}