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Sinus hyperbolicus
Sinus hyperbolicus (abgekürzt: $\sinh$) gehört zu den hyperbolischen Funktionen.
Definition
Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \sinh(x) := \frac{1}{2} \cdot \Bigl( e^x - e^{-x} \Bigr) \]
Funktionsgraph
Eigenschaften
Definitionsbereich |
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Wertebereich |
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Periodizität |
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Monotonie |
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Krümmung |
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Symmetrien |
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Asymptoten |
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Nullstellen |
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Sprungstellen |
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Polstellen |
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Extrema |
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Wendepunkte |
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Ableitung
Die Ableitung von Sinus hyperbolicus lautet:
\[ \Bigl[ \sinh(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x) \]
Stammfunktion
Die Stammfunktion von Sinus hyperbolicus lautet:
\[ \int{\sinh(x)\ dx} = \cosh(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \]
Weitere Stammfunktionen:
\begin{align*} \int{\sinh^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \cosh(x) \cdot \sinh^{n-1}(x) - \frac{n-1}{n} \cdot \int{\sinh^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sinh(x)}\ dx} = \int{\sinh^{-1}(x)\ dx} &= \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\cosh(x)-1\right) - \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\cosh(x)+1\right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\sinh^n(x)}\ dx} = \int{\sinh^{-n}(x)\ dx} &= - \frac{\cosh(x)}{(n-1) \cdot \sinh^{n-1}(x)} - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\frac{1}{\sinh^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}
Reihenentwicklung
Sinus hyperbolicus besitzt die folgende Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $x_0=0$:
\begin{align*} \sinh(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}} \\[0.75em] &= x + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \frac{1}{7!} x^7 + \ldots \end{align*}