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Disjunkte Mengen

Zwei Mengen werden disjunkt, elementfremd oder auch durchschnittsfremd genannt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen. Dementsprechend werden mehrere Mengen paarweise disjunkt genannt, wenn alle Kombinationen aus zwei Mengen stets disjunkt sind.

Definitionen

Disjunkte Mengen

Zwei Mengen $A$ und $B$ werden disjunkt genannt, falls sie keine gemeinsamen Elemente besitzen, d. h., falls ihre Schnittmenge leer ist:

A \cap B = \emptyset.

Paarweise disjunkte Mengen

Eine Familie von Mengen ${\bigl( M_i \bigr)}_{i \in I}$ wird disjunkte Mengenfamilie genannt, wenn die Mengen $M_i$ paarweise disjunkt sind, d. h. wenn gilt:

\begin{array}{c} M_i \cap M_j = \emptyset \\[0.5em] \text{für }\ i \neq j \ \text{ und } \ i,j \in I. \end{array}

Disjunkte Vereinigung

Die Vereinigung einer disjunkten Mengenfamilie wird disjunkte Vereinigung genannt.

M = \dot\bigcup\limits_{i \in I}{\ M_i}.

Sind alle Mengen $M_i$ nichtleer, so handelt es sich um eine Partition der Menge $M$.

Eigenschaften

Es gelten die folgenden Eigenschaften:

Die leere Menge ist disjunkt zu jeder Menge $A$, es gilt: $A \cap \emptyset = \emptyset.$ Hieraus folgt insbesondere auch, dass die leere Menge disjunkt zu sich selbst ist.
Eine einelementige Menge $\bigl\{ a \bigr\}$ ist genau dann disjunkt zu einer Menge $B$, wenn $a \notin B$ gilt.
Die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von endlichen, paarweise disjunkten Mengen entspricht der Summe der Mächtigkeiten der vereinigten Mengen: $\left|\dot\bigcup\limits_{i \in I}{\ M_i}\right| = \sum\limits_{i \in I}{\bigl|M_i\bigr|}.$
Die Mächtigkeit der Vereinigung nicht paarweise disjunkter Mengen kann mithilfe der Siebformel ermittelt werden.

Beispiele

Beispiel 1

Die Mengen $A = \bigl\{ 1,2,3 \bigr\}$ und $B = \bigl\{ 4,5 \bigr\}$ sind disjunkt, da sie keine gemeinsamen Elemente besitzen. Es gilt:

A \cap B = \emptyset.

Beispiel 2

Die Mengen $A = \bigl\{ 1,3,7 \bigr\}$, $B = \bigl\{ 2,4,5 \bigr\}$ und $C = \bigl\{ 6,8 \bigr\}$ sind paarweise disjunkt, da sie keine gemeinsamen Elemente besitzen. Es gilt:

\begin{align*} A \cap B &= \emptyset \\[0.5em] A \cap C &= \emptyset \\[0.5em] B \cap C &= \emptyset. \end{align*}

Es handelt sich bei den Mengen $A$, $B$ und $C$ um eine Partition der Menge $\bigl\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \bigr\}$.

Beispiel 3

Die Mengen $A = \bigl\{ 1,2,7 \bigr\}$, $B = \bigl\{ 2,4,5 \bigr\}$ und $C = \bigl\{ 4,6,8 \bigr\}$ sind nicht paarweise disjunkt, denn es gilt:

\begin{align*} A \cap B &= \bigl\{ 2 \bigr\} \neq \emptyset \\[0.5em] B \cap C &= \bigl\{ 4 \bigr\} \neq \emptyset. \end{align*}

Beispiel 4

Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen sind disjunkt. Bei diesen beiden Mengen handelt es sich um eine Partition der reellen Zahlen.