Leere Menge

Bei der leeren Menge handelt es sich um eine Menge, die keine Elemente beinhaltet, die also leer ist.

Definition

Man versteht unter der leeren Menge diejenige Menge, die keinerlei Elemente enthält.

Als Notation hat sich das von Nicolas Bourbaki verwendete Zeichen $\varnothing$ weitgehend durchgesetzt. Eine typographische Variante hiervon ist das Zeichen $\emptyset$. Gelegentlich wird für die leere Menge auch einfach $\bigl\{\bigr\}$ geschrieben, was besonders gut verdeutlicht, dass die leere Menge nicht nichts ist, sondern eine Menge, die nichts enthält.

Eigenschaften

Für die leere Menge gelten die folgenden Eigenschaften:

• Die leere Menge $\emptyset$ ist eine Teilmenge jeder Menge $A$:
  \[ \emptyset \subseteq A. \]
• Eine Menge $A$ bleibt bei der Vereinigung $\cup$ mit der leeren Menge unverändert:
  \[ \emptyset \cup A = A = A \cup \emptyset. \]
• Für eine Menge $A$ ist der Schnitt $\cap$ mit der leeren Menge die leere Menge:
  \[ \emptyset \cap A = \emptyset = A \cap \emptyset. \]
• Das kartesische Produkt $\times$ einer Menge $A$ mit der leeren Menge ist die leere Menge:
  \[ \emptyset \times A = \emptyset = A \times \emptyset. \]
• Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge selbst:
  \[ A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset. \]
• Die Potenzmenge der leeren Menge enthält genau ein Element, nämlich die leere Menge selbst:
  \[ \mathcal{P}(\emptyset) = \bigl\{ \emptyset \bigr\}. \]
• Die leere Menge ist die einzige Basis des Nullvektorraums.