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Nullvektorraum

Beim Nullvektorraum (auch Nullraum) handelt es sich um einen Vektorraum, der lediglich ein einziges Element, den Nullvektor, enthält. Er ist, von Isomorphie abgesehen, der einzige Vektorraum der Dimension 0; seine Basis ist die leere Menge. Der Nullvektorraum ist in jedem Vektorraum als Untervektorraum enthalten.

Inhalt

Definition
Eigenschaften

Definition

Beim Nullvektorraum $\bigl(\{ 0 \}, \oplus, \odot \bigr)$ handelt es sich um einen Vektorraum über einem beliebigen Körper $\mathcal{K} = \bigl(K,+,\cdot\bigr)$, der aus der einelementigen Menge

\Bigl\{ 0 \Bigr\}

besteht, die ausschließlich den Nullvektor enthält, sowie einer darauf eindeutig definierten Vektoraddition $\oplus$ und einer skalaren Multiplikation $\odot$, für die gilt (mit $\lambda \in K$):

\begin{align*} 0 \oplus 0 &= 0 \\[0.5em] \lambda \odot 0 &= 0. \end{align*}

Eigenschaften

Vektorraum-Eigenschaften

Für die Vektoraddition $\oplus$ gelten die folgenden Eigenschaften, die durch direktes Nachrechnen gezeigt werden können.

Die Verknüpfung $\oplus$ ist assoziativ; es gilt: $\bigl(0 \oplus 0\bigr) \oplus 0 = 0 = 0 \oplus \bigl(0 \oplus 0 \bigr).$
Der Nullvektor $0$ ist das neutrale Element der Addition; es gilt: $0 \oplus 0 = 0 = 0 \oplus 0.$
Der Nullvektor $0$ ist das additive inverse Element; es gilt: $0 \oplus 0 = 0 = 0 \oplus 0.$
Die Verknüpfung $\oplus$ ist kommutativ; es gilt: $0 \oplus 0 = 0 = 0 \oplus 0.$

Für die skalare Multiplikation $\odot$ gelten die folgenden Eigenschaften, die durch direktes Nachrechnen gezeigt werden können.

Die Verknüpfung $\odot$ ist assoziativ; für $\lambda,\mu \in K$ gilt: $\begin{align*} \bigl(\lambda \cdot \mu \bigr) \odot 0 &= 0 \\[0.5em] &= \lambda \odot 0 \\[0.5em] &= \lambda \odot \bigl( \mu \odot 0 \bigr). \end{align*}$
Das Skalar $1_K$ – das Einselement des Körpers $\mathcal{K}$ – ist (links-)neutral bezüglich der skalaren Multiplikation $\odot$; es gilt: $1_K \odot 0 = 0.$ Hinweis: Aufgrund der speziellen Eigenschaft, dass der Nullvektorraum ausschließlich den Nullvektor enthält, ist jedes Skalar $\lambda \in K$ ein linksneutrales Element.
Die skalare Multiplikation $\odot$ ist (links-)distributiv über der Addition $\oplus$ des Nullvektorraums; für $\lambda \in K$ gilt: $\begin{align*} \lambda \odot \bigl( 0 \oplus 0 \bigr) &= \lambda \odot 0 \\[0.5em] &= 0 \\[0.5em] &= 0 \oplus 0 \\[0.5em] &= \bigl( \lambda \odot 0 \bigr) \oplus \bigl( \lambda \odot 0 \bigr). \end{align*}$
Die skalare Multiplikation $\odot$ ist (rechts-)distributiv über der Addition $+$ von Skalaren; für $\lambda,\mu \in K$ gilt: $\begin{align*} \bigl( \lambda + \mu \bigr) \odot 0 &= 0 \\[0.5em] &= 0 \oplus 0 \\[0.5em] &= \bigl( \lambda \odot 0 \bigr) \oplus \bigl( \mu \odot 0 \bigr). \end{align*}$

Dimension und Basis

Bei der leeren Menge $\emptyset$ handelt es sich um die einzige Basis des Nullvektorraums. Für die lineare Hülle der leeren Menge, die der leeren Summe entspricht, gilt definitionsgemäß:

\Lin\bigl(\emptyset\bigr) = \Bigl\{ 0 \Bigr\}.

Dementsprechend folgt für die Dimension des Nullvektorraums:

\dim\bigl(\{0\}\bigr) = \bigl|\emptyset\bigr| = 0.

Isomorphie

Jeder nulldimensionale Vektorraum über einem beliebigen Körper ist isomorph zum Nullvektorraum.

Untervektorraum

Jeder Vektorraum $\mathcal{V} = \bigl(V,\oplus,\odot\bigr)$ über einem beliebigen Körper $\mathcal{K}$ besitzt ein eindeutig bestimmtes neutrales Element bezüglich der Vektoraddition $\oplus$, nämlich den Nullvektor $0_V$. Die Menge $U = \bigl\{ 0_V \bigr\}$, die nur den Nullvektor enthält, bildet dann stets einen Untervektorraum von $\mathcal{V}$, denn sie ist nichtleer und abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition $\oplus$ und der skalaren Multiplikation $\odot$; es gilt:

$0_V \in U \Rightarrow U \neq \emptyset$;
$0_V \oplus 0_V = 0_V \in U$;
$\lambda \odot 0_V = 0_V \in U$ für alle $\lambda \in \mathcal{K}$.

Der Unterraum $\bigl(\{0_V\},\oplus,\odot\bigr)$ ist wie jeder einelementige Vektorraum isomorph zum Nullvektorraum und wird als Nullvektorraum des Vektorraums $\mathcal{V}$ bezeichnet. Es handelt sich beim Nullvektorraum zudem stets um den kleinstmöglichen Untervektorraum eines Vektorraums.