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Subtraktion von Brüchen

Bei der Subtraktion von Brüchen wird die Differenz von zwei oder mehr Brüchen berechnet, indem diese, falls notwendig, zunächst gleichnamig gemacht und anschließend ihre Zähler subtrahiert werden. Die Subtraktion von Brüchen ist nicht assoziativ und nicht kommutativ. Es gibt kein neutrales Element der Subtraktion; inversen Elemente existieren nicht.

Dieser Artikel konzentriert sich auf das Rechnen mit Brüchen. Formale Details zur Subtraktion von rationalen Zahlen können im Artikel zur Subtraktion von rationalen Zahlen nachgelesen werden.

Definition

Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner

Gegeben seien zwei Brüche mit demselben Nenner (mit $a,b,c \in \Z$ und $b \neq 0$):

r_1 = \frac{a}{b}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{c}{b}.

Da die Brüche denselben Nenner besitzen und somit bereits gleichnamig sind, können sie unmittelbar subtrahiert werden, indem ihre Zähler subtrahiert werden und der gemeinsame Nenner beibehalten wird. Für die Differenz von gleichnamigen Brüchen gilt somit:

\begin{align*} r_1 - r_2 &= \frac{a}{b} - \frac{c}{b} \\[0.75em] &= \frac{a - c}{b} \end{align*}

Hinweis: Dies gilt analog für die Differenz von mehreren Brüchen mit demselben Nenner. Die Zähler werden subtrahiert, der gemeinsame Nenner wird beibehalten.

Subtraktion von Brüchen mit verschiedenen Nennern

Gegeben seien zwei Brüche mit verschiedenen Nennern (mit $a,b,c,d \in \Z$, $b \neq 0$ und $d \neq 0$):

r_1 = \frac{a}{b}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{c}{d}.

Da die Brüche verschiedene Nenner haben, können sie nicht direkt subtrahiert werden, sondern müssen zunächst gleichnamig gemacht – also auf einen gemeinsamen Nenner gebracht – werden. Dieser ergibt sich beispielsweise als Produkt der beiden Nenner $b$ und $d$. Nachdem die beiden Brüche entsprechend erweitert wurden, kann die Differenz berechnet werden, indem die erweiterten Zähler subtrahiert werden und der erweiterte Nenner beibehalten wird – analog zum vorausgehenden Fall der Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner. Für die Differenz von Brüchen gilt somit:

\begin{align*} r_1 - r_2 &= \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \\[0.75em] &= \frac{ad}{bd} - \frac{bc}{bd} \\[0.75em] &= \frac{ad - bc}{bd} \end{align*}

Hinweis: Dies gilt analog für die Differenz von mehreren Brüchen. Diese werden zunächst gleichnamig gemacht, anschließend werden die erweiterten Zähler subtrahiert und der erweiterte Nenner wird beibehalten.

Hinweis: Anstelle des Produkts der Nenner kann auch jedes andere gemeinsame Vielfache zum Gleichnamig machen verwendet werden. Dies gilt insbesondere auch für das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Dieses bietet den Vorteil, dass alle während der Rechnung vorkommenden Werte so klein wie möglich bleiben.

Beispiele

Beispiel 1: Subtraktion von zwei Brüchen mit demselben Nenner

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Differenz von zwei Brüchen mit demselben Nenner berechnet. Gegeben seien die beiden Brüche

r_1 = \frac{1}{3}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{5}{3}.

Da die Nenner der beiden Brüche identisch sind, können die Brüche direkt subtrahiert werden, indem die Zähler subtrahiert werden und der gemeinsame Nenner beibehalten wird. Für die gesuchte Differenz ergibt sich:

\begin{align*} r_1 - r_2 &= \frac{1}{3} - \frac{5}{3} \\[0.75em] &= \frac{1 - 5}{3} \\[0.75em] &= \frac{-4}{3} \\[0.75em] &= -\frac{4}{3} \end{align*}

Beispiel 2: Subtraktion von zwei Brüchen mit verschiedenen Nennern

Im zweiten Beispiel werden zwei Brüche mit verschiedenen Nennern subtrahiert. Gegeben seien die beiden Brüche

r_1 = \frac{3}{5}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{1}{2}.

Da die Nenner verschieden sind, müssen die beiden Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden; sie müssen also auf denselben Nenner gebracht werden. Da die Nenner teilerfremd sind, bietet es sich an, ihr Produkt $2 \cdot 5 = 10$ als gemeinsamen Nenner zu verwenden. Hierzu muss der erste Bruch mit $2$ und der zweite Bruch mit $5$ erweitert werden. Anschließend kann die gesuchte Differenz berechnet werden:

\begin{align*} r_1 - r_2 &= \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \\[0.75em] &= \frac{{\color{blue} 2} \cdot 3}{{\color{blue} 2} \cdot 5} - \frac{{\color{blue} 5} \cdot 1}{{\color{blue} 5} \cdot 2} \\[0.75em] &= \frac{6}{10} - \frac{5}{10} \\[0.75em] &= \frac{6 - 5}{10} \\[0.75em] &= \frac{1}{10} \end{align*}

Beispiel 3: Subtraktion von drei Brüchen mit verschiedenen Nennern

Im dritten Beispiel werden drei Brüche mit verschiedenen Nennern subtrahiert. Gegeben seien die Brüche

r_1 = \frac{3}{2},\ \ r_2 = \frac{1}{4}\ \text{ und }\ r_3 = \frac{5}{6}.

Da die Nenner verschieden sind, müssen die Brüche zunächst wie im vorausgehenden Beispiel gleichnamig gemacht werden; da die Nenner nicht teilerfremd sind, handelt es sich beim Produkt $2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$ zwar um ein gültiges gemeinsames Vielfaches der Nenner, dieses ist jedoch unnötig groß. Es bietet sich an, stattdessen das kleinste gemeinsame Vielfache $\kgV(2,4,6) = 12$ der einzelnen Nenner zu verwenden. Hierzu muss der Bruch $r_1$ mit $6$, der Bruch $r_2$ mit $3$ und der Bruch $r_3$ mit $2$ erweitert werden. Anschließend kann die gesuchte Differenz berechnet werden:

\begin{align*} r_1 - r_2 - r_3 &= \frac{3}{2} - \frac{1}{4} - \frac{5}{6} \\[0.75em] &= \frac{{\color{blue} 6} \cdot 3}{{\color{blue} 6} \cdot 2} - \frac{{\color{blue} 3} \cdot 1}{{\color{blue} 3} \cdot 4} - \frac{{\color{blue} 2} \cdot 5}{{\color{blue} 2} \cdot 6} \\[0.75em] &= \frac{18}{12} - \frac{3}{12} - \frac{10}{12} \\[0.75em] &= \frac{18 - 3 - 10}{12} \\[0.75em] &= \frac{5}{12} \end{align*}

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Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Subtraktion von Brüchen ist nicht assoziativ. Für Brüche $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt im Allgemeinen:

\bigl( r_1 - r_2 \bigr) - r_3 \neq r_1 - \bigl( r_2 - r_3 \bigr).

Der Beweis der Nichtassoziativität der Subtraktion von Brüchen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen:

r_1 = \frac{1}{2},\ \ r_2 = \frac{1}{3}\ \text{ und }\ r_3 = \frac{1}{4}.

Für die Brüche $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt:

\begin{align*} \bigl( r_1 - r_2 \bigr) - r_3 &= \underbrace{\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)}_{=\ \frac{1}{6}} - \frac{1}{4} \\[0.75em] &= -\frac{1}{12} \\[1.5em] r_1 - \bigl( r_2 - r_3 \bigr) &= \frac{1}{2} - \underbrace{\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right)}_{=\ \frac{1}{12}} \\[0.75em] &= \frac{5}{12}, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Subtraktion von Brüchen folgt.

Nichtkommutativität

Die Subtraktion von Brüchen ist nicht kommutativ. Für Brüche $r_1$ und $r_2$ gilt im Allgemeinen:

r_1 - r_2 \neq r_2 - r_1.

Der Beweis der Nichtkommutativität der Subtraktion von Brüchen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden Brüche sowie ihre Darstellungen als Quotient von zwei ganzen Zahlen

r_1 = \frac{1}{2}\ \text{ und }\ r_2 = \frac{1}{3}.

Für die Brüche $r_1$ und $r_2$ gilt:

\begin{align*} r_1 - r_2 &= \frac{1}{6} \\[0.75em] r_2 - r_1 &= -\frac{1}{6}, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Subtraktion von Brüchen folgt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion von Brüchen. Die Zahl $0 = \frac{0}{1}$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element eines Bruchs bezüglich der Subtraktion von Brüchen existiert im Allgemeinen nicht.