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Subtraktion von rationalen Zahlen

Bei der Subtraktion von rationalen Zahlen, auch rationale Subtraktion genannt, wird die Differenz von zwei rationalen Zahlen berechnet. Die rationale Subtraktion wird formal auf der Faktormenge der Äquivalenzrelation definiert, die den rationalen Zahlen zugrunde liegt, und ist der Subtraktion von Brüchen nachempfunden. Die Subtraktion von rationalen Zahlen ist weder assoziativ noch kommutativ und besitzt kein neutrales Element.

Dieser Artikel konzentriert sich auf das formale Subtrahieren von rationalen Zahlen. Details zum Rechnen mit Brüchen können im Artikel zur Subtraktion von Brüchen nachgelesen werden.

Definition

Rationale Zahlen

Die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen kann mithilfe einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge von geordneten Paaren ganzer Zahlen formal definiert werden; es gelte:

\[ \forall a,b,c,d \in \Z:\ \bigl(a,b\bigr) \sim \bigl(c,d\bigr) \Leftrightarrow a \cdot d = c \cdot b. \]

Bei der Menge der rationalen Zahlen handelt es sich um die Faktormenge (die Menge der Äquivalenzklassen) der Relation $\sim$; es gilt:

\[ \Q = {\Z \times \Z} \mathop{/} \sim{} = \Bigl\{ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \mid a,b \in \Z,\ b \neq 0 \Bigr\}. \]

Die Äquivalenzklasse $ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim$ repräsentiert hierbei konzeptuell die rationale Zahl, die dem Quotienten $\frac{a}{b}$ entspricht.

Rationale Subtraktion

Bei der rationalen Subtraktion handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung auf der Menge $\Q$ der rationalen Zahlen. Sie verknüpft zwei Elemente der Faktormenge der Äquivalenzrelation $\sim$ zu einem neuen Element, das der Differenz der beiden rationalen Zahlen entspricht. Es gilt (für $a,b,c,d \in \Z$ mit $b \neq 0$ und $d \neq 0$):

\[ \begin{array}{c} \ominus: \Q \times \Q \rightarrow \Q \\[0.5em] {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \ominus {\bigl[(c,d)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a \cdot d - b \cdot c,\ b \cdot d)\bigr]}_\sim. \end{array} \]

Die rationale Subtraktion ist dem Subtrahieren von Brüchen nachempfunden und wird formal auf das Rechnen mit ganzen Zahlen zurückgeführt. Beim Operator $-$ handelt es sich um die gewöhnliche Subtraktion von ganzen Zahlen, beim Operator $\cdot$ handelt es sich um die Multiplikation von ganzen Zahlen.

Hinweis: Die Subtraktion von rationalen Zahlen kann, wie in Körpern üblich, alternativ auch auf die (rationale) Addition des additiven Inversen des Subtrahenden zurückgeführt werden.

Hinweis zur Schreibweise: Anstelle des Operators $\ominus$ wird für die rationale Subtraktion typischerweise ebenfalls der Operator $-$ verwendet. In diesem Artikel wird der Operator $\ominus$ primär verwendet, um die Subtraktion von rationalen Zahlen und die ganzzahlige Subtraktion einfacher unterscheiden zu können.

Beispiele

Beispiel 1: Subtraktion von zwei rationalen Zahlen

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Differenz von zwei rationalen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen, ihre Darstellungen als Brüche sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{align*} r_1 &= \frac{3}{5} = {\bigl[ (3,5) \bigr]}_\sim \\[0.75em] r_2 &= \frac{1}{2} = {\bigl[ (1,2) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die gesuchte Differenz ergibt sich:

\begin{align*} r_1 \ominus r_2 &= \frac{3}{5} \ominus \frac{1}{2} \\[0.75em] &= {\bigl[ (3,5) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (1,2) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (3 \cdot 2 - 5 \cdot 1,\ 5 \cdot 2) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (1,10) \bigr]}_\sim \\[0.75em] &= \frac{1}{10}. \end{align*}

Beispiel 2: Subtraktion von drei rationalen Zahlen

Im zweiten Beispiel wird die Differenz von drei rationalen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen, ihre Darstellungen als Brüche sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{align*} r_1 &= \frac{3}{2} = {\bigl[ (3,2) \bigr]}_\sim \\[0.75em] r_2 &= \frac{1}{4} = {\bigl[ (1,4) \bigr]}_\sim \\[0.75em] r_3 &= \frac{5}{6} = {\bigl[ (5,6) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die gesuchte Differenz ergibt sich:

\begin{align*} r_1 \ominus r_2 \ominus r_3 &= \frac{3}{2} \ominus \frac{1}{4} \ominus \frac{5}{6} \\[0.75em] &= {\bigl[ (3,2) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (1,4) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (5,6) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= \underbrace{{\bigl[ (3 \cdot 4 - 2 \cdot 1,\ 2 \cdot 4) \bigr]}_\sim}_{=\ {\bigl[ (10,8) \bigr]}_\sim} \ominus {\bigl[ (5,6) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (10 \cdot 6 - 8 \cdot 5,\ 8 \cdot 6) \bigr]}_\sim \\[0.75em] &= {\bigl[ (20,48) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (5,12) \bigr]}_\sim \\[0.75em] &= \frac{5}{12}. \end{align*}

Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Subtraktion von rationalen Zahlen ist nicht assoziativ. Für $r_1,r_2,r_3 \in \Q$ gilt im Allgemeinen:

\[ \bigl( r_1 \ominus r_2 \bigr) \ominus r_3 \neq r_1 \ominus \bigl( r_2 \ominus r_3 \bigr). \]

Der Beweis der Nichtassoziativität der Subtraktion von rationalen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$:

\begin{align*} r_1 &= \frac{1}{2} = {\bigl[ (1,2) \bigr]}_\sim \\[0.75em] r_2 &= \frac{1}{3} = {\bigl[ (1,3) \bigr]}_\sim \\[0.75em] r_3 &= \frac{1}{4} = {\bigl[ (1,4) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die Zahlen $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt:

\begin{align*} \bigl( r_1 \ominus r_2 \bigr) \ominus r_3 &= \left( \frac{1}{2} \ominus \frac{1}{3} \right) \ominus \frac{1}{4} \\[0.75em] &= \underbrace{\Bigl( {\bigl[ (1,2) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (1,3) \bigr]}_\sim \Bigr)}_{= {\bigl[ (1,6) \bigr]}_\sim = \frac{1}{6}} \ominus {\bigl[ (1,4) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (-2, 24) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (-1, 12) \bigr]}_\sim \\[0.75em] &= -\frac{1}{12} \\[1.5em] r_1 \ominus \bigl( r_2 \ominus r_3 \bigr) &= \frac{1}{2} \ominus \left( \frac{1}{3} \ominus \frac{1}{4} \right) \\[0.75em] &= {\bigl[ (1,2) \bigr]}_\sim \ominus \underbrace{\Bigl({\bigl[ (1,3) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (1,4) \bigr]}_\sim \Bigr)}_{= {\bigl[ (1,12) \bigr]}_\sim = \frac{1}{12}} \\[0.5em] &= {\bigl[ (10, 24) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (5, 12) \bigr]}_\sim \\[0.75em] &= \frac{5}{12} \end{align*}

Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Subtraktion von rationalen Zahlen.

Nichtkommutativität

Die Subtraktion von rationalen Zahlen ist nicht kommutativ. Für $r_1,r_2 \in \Q$ gilt im Allgemeinen:

\[ r_1 \ominus r_2 \neq r_2 \ominus r_1. \]

Der Beweis der Nichtkommutativität der Subtraktion von rationalen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$:

\begin{align*} r_1 &= \frac{1}{2} = {\bigl[ (1,2) \bigr]}_\sim \\[0.75em] r_2 &= \frac{1}{3} = {\bigl[ (1,3) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die Zahlen $r_1$ und $r_2$ gilt:

\begin{align*} r_1 \ominus r_2 &= \frac{1}{2} \ominus \frac{1}{3} \\[0.75em] &= {\bigl[ (1,2) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (1,3) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (1,6) \bigr]}_\sim \\[0.75em] &= \frac{1}{6} \\[1.5em] r_2 \ominus r_1 &= \frac{1}{3} \ominus \frac{1}{2} \\[0.75em] &= {\bigl[ (1,3) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (1,2) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (-1,6) \bigr]}_\sim \\[0.75em] &= -\frac{1}{6} \end{align*}

Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Subtraktion von rationalen Zahlen.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion von rationalen Zahlen. Die Zahl $0 = {\bigl[(0,1)\bigr]}_\sim$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element einer rationalen Zahl bezüglich der Subtraktion von rationalen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.