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Funktionenraum

Beim Funktionenraum handelt es sich um den Vektorraum aller Funktionen, die die Elemente einer Menge auf die Elemente eines Vektorraums über einem Körper abbilden. Bei den Verknüpfungen des Funktionenraums handelt es sich um die Addition und die skalare Multiplikation von Funktionen.

Inhalt

Definition

Sei \(X\) eine beliebige Menge und \(\mathcal{V} = \bigl(V,\oplus,\odot\bigr)\) ein Vektorraum über einem Körper \(\mathcal{K} = \bigl(K,+,\cdot\bigr)\).

Beim Funktionenraum \(\mathcal{Abb}(X,V)\) handelt es sich um einen Vektorraum über dem Körper \(\mathcal{K}\), der aus der Menge

\[ \operatorname{Abb}(X,V) = \Bigl\{ f \ \Big\vert\ f: X \rightarrow V \Bigr\} \]

aller Abbildungen \(X \rightarrow V\) besteht, die die Elemente aus der Menge \(X\) auf die Elemente des Vektorraums \(\mathcal{V}\) abbilden. Bei den Verknüpfungen des Funktionenraums handelt es sich um eine auf dieser Menge definierte Addition

\[ \begin{array}{c} \boxplus: \operatorname{Abb}(X,V) \times \operatorname{Abb}(X,V) \rightarrow \operatorname{Abb}(X,V) \\[0.5em] \bigl( f \boxplus g \bigr)(x) = f(x) \oplus g(x) \end{array} \]

und eine skalare Multiplikation

\[ \begin{array}{c} \boxdot: K \times \operatorname{Abb}(X,V) \rightarrow \operatorname{Abb}(X,V) \\[0.5em] \bigl(\lambda \boxdot f \bigr)(x) = \lambda \odot f(x). \end{array} \]

Eigenschaften

Vektorraum-Eigenschaften

Für die Addition von Funktionen gelten die folgenden Eigenschaften:

  • Die Verknüpfung \(\boxplus\) ist assoziativ; für Abbildungen \(f,g,h \in \operatorname{Abb}(X,V)\) gilt:
    \[ \bigl( (f \boxplus g) \boxplus h \bigr)(x) = \bigl( f \boxplus ( g \boxplus h ) \bigr)(x). \]

    Die Assoziativität der Addition von Funktionen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

    \begin{align*} \bigl( (f \boxplus g) \boxplus h \bigr)(x) &\overset{(1)}{=} (f \boxplus g)(x) \oplus h(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl( f(x) \oplus g(x) \bigr) \oplus h(x) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} f(x) \oplus \bigl( g(x) \oplus h(x) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} f(x) \oplus (g \boxplus h)(x) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \bigl( f \boxplus (g \boxplus h) \bigr)(x). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ausrechnen von \(\bigl( (f \boxplus g) \boxplus h \bigr)(x)\) gemäß Definition der Addition von Funktionen
    (2)
    • Ausrechnen von \((f \boxplus g)(x)\) gemäß Definition der Addition von Funktionen
    (3)
    • Die Gleichheit von \(\bigl(f(x) \oplus g(x)\bigr) \oplus h(x)\) und \(f(x) \oplus \bigl( g(x) \oplus h(x) \bigr)\) gilt aufgrund der Assoziativität der Addition im Vektorraum \(\mathcal{V}\)
    (4)
    • Ersetzen von \(g(x) \oplus h(x)\) durch \((g \boxplus h)(x)\) gemäß Definition der Addition von Funktionen
    (5)
    • Ersetzen von \(f(x) \oplus (g \boxplus h)(x)\) durch \(\bigl( f \boxplus (g \boxplus h) \bigr)(x)\) gemäß Definition der Addition von Funktionen
  • Die Nullabbildung \(0_{\operatorname{Abb}}: X \rightarrow V\) mit \(x \mapsto 0_V\) ist das neutrale Element der Addition; für \(f \in \operatorname{Abb}(X,V)\) gilt:
    \[ (0_{\operatorname{Abb}} \boxplus f)(x) = f(x) = (f \boxplus 0_{\operatorname{Abb}})(x). \]

    Die Nullabbildung \(0_{\operatorname{Abb}}\) ist linksneutral bezüglich der Addition von Funktionen, denn es gilt:

    \begin{align*} (0_{\operatorname{Abb}} \boxplus f)(x) &\overset{(1)}{=} 0_{\operatorname{Abb}}(x) \oplus f(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} 0_V \oplus f(x) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} f(x). \end{align*}

    Analog kann gezeigt werden, dass die Nullabbildung ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Addition von Funktionen.

    \begin{align*} (f \boxplus 0_{\operatorname{Abb}})(x) &\overset{(1)}{=} f(x) \oplus 0_{\operatorname{Abb}}(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} f(x) \oplus 0_V \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} f(x). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ausrechnen von \((0_{\operatorname{Abb}} \boxplus f)(x)\) bzw. \((f \boxplus 0_{\operatorname{Abb}})(x)\) gemäß Definition der Addition von Funktionen
    (2)
    • Ausrechnen von \(0_{\operatorname{Abb}}(x)\) gemäß Definition der Nullabbildung
    (3)
    • Ausrechnen von \(0_V \oplus f(x)\) bzw. \(f(x) \oplus 0_V\) ergibt \(f(x)\), da \(0_V\) das neutrale Element der Addition im Vektorraum \(\mathcal{V}\) ist
  • Die Abbildung \(-f\) mit \((-f)(x) = -f(x)\) ist das additive inverse Element der Abbildung \(f \in \operatorname{Abb}(X,V)\); es gilt:
    \[ \bigl( (-f) \boxplus f\bigr)(x) = 0_{\operatorname{Abb}} = \bigl( f \boxplus (-f) \bigr)(x). \]

    Die Funktion \(-f\) ist linksinvers zur Funktion \(f\), denn es gilt:

    \begin{align*} \bigl( (-f) \boxplus f \bigr)(x) &\overset{(1)}{=} (-f)(x) \oplus f(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl( -f(x) \bigr) \oplus f(x) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} 0_V \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} 0_{\operatorname{Abb}}(x). \end{align*}

    Analog kann gezeigt werden, dass die Funktion \(-f\) ebenfalls rechtsinvers ist, und dass es sich somit um das additive Inverse handelt:

    \begin{align*} \bigl( f \boxplus (-f) \bigr)(x) &\overset{(1)}{=} f(x) \oplus (-f)(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} f(x) \oplus \bigl( -f(x) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} 0_V \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} 0_{\operatorname{Abb}}(x). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ausrechnen von \(\bigl( (-f) \boxplus f \bigr)(x)\) bzw. \(\bigl( f \boxplus (-f) \bigr)(x)\) gemäß Definition der Addition von Funktionen
    (2)
    • Einsetzen der Definition von \((-f)(x)\)
    (3)
    • Ausrechnen der Terme \(\bigl( -f(x) \bigr) \oplus f(x)\) bzw. \(f(x) \oplus \bigl( -f(x) \bigr)\) ergibt \(0_V\), da es sich im Vektorraum \(\mathcal{V}\) bei \(-f(x)\) um das additive Inverse von \(f(x)\) handelt
    (4)
    • Ersetzen von \(0_V\) gemäß Definition der Nullabbildung \(0_{\operatorname{Abb}}\)
  • Die Verknüpfung \(\boxplus\) ist kommutativ; für \(f,g \in \operatorname{Abb}(X,V)\) gilt:
    \[ (f \boxplus g)(x) = (g \boxplus f)(x). \]

    Die Kommutativität der Addition von Funktionen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

    \begin{align*} (f \boxplus g)(x) &\overset{(1)}{=} f(x) \oplus g(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} g(x) \oplus f(x) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} (g \boxplus f)(x). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ausrechnen von \((f \boxplus g)(x)\) gemäß Definition der Addition von Funktionen
    (2)
    • Die Gleichheit von \(f(x) \oplus g(x)\) und \(g(x) \oplus f(x)\) gilt aufgrund der Kommutativität der Addition im Vektorraum \(\mathcal{V}\)
    (3)
    • Ersetzen von \(g(x) \oplus f(x)\) durch \((g \boxplus f)(x)\) gemäß Definition der Addition von Funktionen

Für die skalare Multiplikation von Funktionen gelten die folgenden Eigenschaften:

  • Die Verknüpfung \(\boxdot\) ist assoziativ; für \(\lambda,\mu \in K\) und \(f \in \operatorname{Abb}(X,V)\) gilt:
    \[ \bigl( (\lambda \cdot \mu) \boxdot f \bigr)(x) = \bigl( \lambda \boxdot (\mu \boxdot f) \bigr)(x). \]

    Die Assoziativität der skalaren Multiplikation kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

    \begin{align*} \bigl( (\lambda \cdot \mu) \boxdot f \bigr)(x) &\overset{(1)}{=} (\lambda \cdot \mu) \odot f(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lambda \odot \bigl( \mu \odot f(x) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \lambda \odot (\mu \boxdot f)(x) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl( \lambda \boxdot (\mu \boxdot f) \bigr)(x). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ausrechnen von \(\bigl( (\lambda \cdot \mu) \boxdot f \bigr)(x)\) gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Funktionen
    (2)
    • Die Gleichheit von \((\lambda \cdot \mu) \odot f(x)\) und \(\lambda \odot \bigl(\mu \odot f(x)\bigr)\) gilt aufgrund der Assoziativität der skalaren Multiplikation im Vektorraum \(\mathcal{V}\)
    (3)
    • Ersetzen von \(\mu \odot f(x)\) durch \((\mu \boxdot f)(x)\) gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Funktionen
    (4)
    • Ersetzen von \(\lambda \odot (\mu \boxdot f)(x)\) durch \(\bigl( \lambda \boxdot (\mu \boxdot f) \bigr)(x)\) gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Funktionen
  • Das Skalar \(1_K\) – das Einselement des Körpers \(\mathcal{K}\) – ist das (links-)neutrale Element der skalaren Multiplikation \(\boxdot\); für \(f \in \operatorname{Abb}(X,V)\) gilt:
    \[ (1_\mathcal{K} \boxdot f)(x) = f(x). \]

    Das Einselement \(1_K\) ist (links-)neutral bezüglich der skalaren Multiplikation, denn es gilt:

    \begin{align*} (1_K \boxdot f)(x) &\overset{(1)}{=} 1_K \odot f(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} f(x). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Definition der skalaren Multiplikation von Funktionen
    (2)
    • Die Gleichheit \(1_K \odot f(x) = f(x)\) gilt, da es sich bei \(1_K\) um das neutrale Element der skalaren Multiplikation im Vektorraum \(\mathcal{V}\) handelt
  • Die skalare Multiplikation \(\boxdot\) ist (links-)distributiv über der Addition \(\boxplus\); für \(\lambda \in K\) und \(f,g \in \operatorname{Abb}(X,V)\) gilt:
    \[ \bigl(\lambda \boxdot (f \boxplus g) \bigr)(x) = \bigl( (\lambda \boxdot f) \boxplus (\lambda \boxdot g \bigr)(x). \]

    Die Linksdistributivität der skalaren Multiplikation über der Addition von Funktionen kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

    \begin{align*} \bigl(\lambda \boxdot (f \boxplus g) \bigr)(x) &\overset{(1)}{=} \lambda \odot (f \boxplus g)(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lambda \odot \bigl( f(x) \oplus g(x) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl( \lambda \odot f(x) \bigr) \oplus \bigl( \lambda \odot g(x) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} (\lambda \boxdot f)(x) \oplus (\lambda \boxdot g)(x) \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \bigl( (\lambda \boxdot f) \boxplus (\lambda \boxdot g) \bigr)(x). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Definition der skalaren Multiplikation von Funktionen
    (2)
    • Definition der Addition von Funktionen
    (3)
    • Die Gleichheit von \(\lambda \odot \bigl( f(x) \oplus g(x) \bigr)\) und \(\bigl( \lambda \odot f(x) \bigr) \oplus \bigl( \lambda \odot g(x) \bigr)\) gilt aufgrund der Distributivität der skalaren Multiplikation über der Addition von Vektoren im Vektorraum \(\mathcal{V}\)
    (4)
    • Definition der skalaren Multiplikation von Funktionen
    (5)
    • Definition der Addition von Funktionen
  • Die skalare Multiplikation \(\boxdot\) ist (rechts-)distributiv über der Addition von Skalaren; für \(\lambda, \mu \in K\) und \(f \in \operatorname{Abb}(X,V)\) gilt:
    \[ \bigl( (\lambda + \mu) \boxdot f \bigr)(x) = \bigl( (\lambda \boxdot f) \boxplus (\mu \boxdot f)\bigr)(x). \]

    Die Rechtsdistributivität der skalaren Multiplikation über der Addition von Skalaren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

    \begin{align*} \bigl( (\lambda + \mu) \boxdot f \bigr)(x) &\overset{(1)}{=} (\lambda + \mu) \odot f(x) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \bigl( \lambda \odot f(x) \bigr) \oplus \bigl( \mu \odot f(x) \bigr) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} (\lambda \boxdot f)(x) \oplus (\mu \boxdot f)(x) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl( (\lambda \boxdot f) \boxplus (\mu \boxdot f)\bigr)(x). \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Definition der skalaren Multiplikation von Funktionen
    (2)
    • Die Gleichheit von \((\lambda + \mu) \odot f(x)\) und \(\bigl( \lambda \odot f(x) \bigr) \oplus \bigl( \mu \odot f(x) \bigr)\) gilt aufgrund der Distributivität der skalaren Multiplikation über der Addition von Skalaren im Vektorraum \(\mathcal{V}\)
    (3)
    • Definition der skalaren Multiplikation von Funktionen
    (4)
    • Definition der Addition von Funktionen