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Division von ganzen Zahlen

Im Allgemeinen handelt es sich bei der Division von ganzen Zahlen um eine Zerlegung mit Rest, die einen ganzzahligen Teiler sowie einen Rest liefert, der nicht als Vielfaches des Divisors darstellt werden kann. Handelt es sich beim Dividenden um ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors, so ist eine Division ohne Rest möglich.

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei ganze Zahlen \(a,b \in \Z\). Für die Zahlen \(a\) und \(b\) mit \(b \neq 0\) existieren stets zwei ganze Zahlen \(q,r \in \Z\) mit \(0 \leq r \lt b\), sodass eine Zerlegung mit Rest

\[ a = q \cdot b + r \]

existiert. Die ganze Zahl \(q\) beschreibt hierbei den ganzzahligen Teiler bzw. Quotienten, bei der Zahl \(r\) handelt es sich um den Rest, der nicht als Vielfaches des Divisors \(b\) dargestellt werden kann.

Hinweis: Handelt es sich beim Dividenden \(a\) um ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors \(b\), so ist eine Division ohne Rest möglich.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen:

\begin{align*} n_1 &= 6 \\[0.5em] n_2 &= 3. \end{align*}

Da es sich bei \(n_1=6\) um ein ganzzahliges Vielfaches von \(n_2=3\) handelt, ist eine Division ohne Rest möglich. Für den Quotienten \(n_1 : n_2\) ergibt sich:

\begin{align*} n_1 : n_2 &= 6 : 3 \\[0.5em] &= 2. \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen:

\begin{align*} n_1 &= 107 \\[0.5em] n_2 &= 42. \end{align*}

Da es sich bei \(n_1=107\) nicht um ein ganzzahliges Vielfaches von \(n_2=42\) handelt, ist eine Division ohne Rest nicht möglich. Für die Zahlen \(n_1\) und \(n_2\) ergibt sich die folgende Zerlegung mit Rest:

\begin{align*} n_1 &= q \cdot n_2 + r \\[0.5em] 107 &= 2 \cdot 42 + 23. \end{align*}

Eigenschaften

Assoziativität

Die Division von ganzen Zahlen \(n_1\), \(n_2\) und \(n_3\) ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\[ \bigl( n_1 : n_2 \bigr) : n_3 \neq n_1 : \bigl( n_2 : n_3 \bigr). \]

Die Nichtassoziativität der Division von ganzen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen:

\begin{align*} n_1 &= 8 \\[0.5em] n_2 &= 4 \\[0.5em] n_3 &= 2. \end{align*}

Für die ganzen Zahlen \(n_1\), \(n_2\) und \(n_3\) gilt

\begin{align*} \bigl( n_1 : n_2 \bigr) : n_3 &= \underbrace{\bigl( 8 : 4 \bigr)}_{=2} : 2 \\[0.5em] &= 1 \\[1.5em] n_1 : \bigl( n_2 : n_3 \bigr) &= 8 : \underbrace{\bigl( 4 : 2 \bigr)}_{=2} \\[0.5em] &= 4, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Division von ganzen Zahlen folgt.

Hinweis: Sind die beteiligten Divisionen nicht ohne Rest möglich, so ist die Verkettung der Divisionen nicht möglich.

Kommutativität

Die Division von ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\) ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

\[ n_1 : n_2 \neq n_2 : n_1. \]

Die Nichtkommutativität der Division von ganzen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen:

\begin{align*} n_1 &= 2 \\[0.5em] n_2 &= 1. \end{align*}

Für die ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\) gilt:

\begin{align*} n_1 : n_2 &= 2 : 1 \\[0.5em] &= 2 \\[1.5em] n_2 : n_1 &= 1 : 2 \\[0.5em] &= 0 \text{ Rest: } 1, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Division von ganzen Zahlen folgt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Division von ganzen Zahlen. Die ganze Zahl \(1\) ist rechts-, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element einer ganzen Zahl \(n\) bezüglich der Division von ganzen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.