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Subtraktion von ganzen Zahlen

Bei der Subtraktion von ganzen Zahlen wird die Differenz berechnet, indem die Subtraktion auf die Addition des additiven Inversen des Subtrahenden zurückgeführt wird.

Inhalt

Definition

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen kann mithilfe einer Äquivalenzrelation \(\sim\) auf der Menge von geordneten Paaren natürlicher Zahlen formal definiert werden; es gelte:

\[ \forall a,b,c,d \in \N:\ \bigl(a,b\bigr) \sim \bigl(c,d\bigr) \Leftrightarrow a+d = c+b. \]

Bei der Menge der ganzen Zahlen handelt es sich um die Faktormenge (die Menge der Äquivalenzklassen) der Relation \(\sim\); es gilt:

\[ \Z = {\N \times \N} \mathop{/} \sim{} = \Bigl\{ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \mid a,b \in \N \Bigr\}. \]

Die Äquivalenzklasse \({\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim\) repräsentiert hierbei konzeptuell die ganze Zahl, die sich als Differenz \(a-b\) ergibt.

Subtraktion von ganzen Zahlen

Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen als Äquivalenzklassen der Relation \(\sim\) (mit \(a_1,a_2,b_1,b_2 \in \N\)):

\begin{align*} n_1 &= {\bigl[(a_1, b_1)\bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= {\bigl[(a_2, b_2)\bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die ganzen Zahlen \(n_1, n_2 \in \Z\) wird die ganzzahlige Subtraktion \(\ominus\) formal über die Addition des additiven Inversen \(-n_2 = {\bigl[(b_2, a_2)\bigr]}_\sim\) definiert:

\[ \begin{array}{c} \ominus: \Z \times \Z \rightarrow \Z \\[0.5em] {\bigl[(a_1,b_1)\bigr]}_\sim \ominus {\bigl[(a_2,b_2)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a_1+b_2,b_1+a_2)\bigr]}_\sim. \end{array} \]

Beim Operator \(+\) handelt es sich um die gewöhnliche Addition von natürlichen Zahlen.

Hinweis: Anstelle des Operators \(\ominus\) wird für die ganzzahlige Subtraktion typischerweise ebenfalls der Operator \(-\) als Schreibweise verwendet.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{align*} n_1 &= 5 = {\bigl[ (6,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= 3 = {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die Differenz \(n_1 \ominus n_2\) ergibt sich somit:

\begin{align*} n_1 \ominus n_2 &= 5 \ominus 3 \\[0.5em] &= {\bigl[ (6,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (6+1,1+4) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (7,5) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= 2. \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{align*} n_1 &= 2 = {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= 8 = {\bigl[ (9,1) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die Differenz \(n_1 \ominus n_2\) ergibt sich somit:

\begin{align*} n_1 \ominus n_2 &= 2 \ominus 8 \\[0.5em] &= {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (9,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (3+1,1+9) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (4,10) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= -6. \end{align*}

Eigenschaften

Assoziativität

Die Subtraktion von ganzen Zahlen \(n_1\), \(n_2\) und \(n_3\) ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\[ \bigl( n_1 \ominus n_2 \bigr) \ominus n_3 \neq n_1 \ominus \bigl( n_2 \ominus n_3 \bigr). \]

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von ganzen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{align*} n_1 &= 1 = {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= 2 = {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_3 &= 3 = {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die ganzen Zahlen \(n_1\), \(n_2\) und \(n_3\) gilt

\begin{align*} \bigl( n_1 \ominus n_2 \bigr) \ominus n_3 &= \bigl( 1 \ominus 2 \bigr) \ominus 3 \\[0.5em] &= \underbrace{\Bigl( {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \Bigr)}_{= {\bigl[ (3,4) \bigr]}_\sim = -1} \ominus {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (4,8) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= -4 \\[1.5em] n_1 \ominus \bigl( n_2 \ominus n_3 \bigr) &= 1 \ominus \bigl( 2 \ominus 3 \bigr) \\[0.5em] &= {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \ominus \underbrace{\Bigl( {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim \Bigr)}_{= {\bigl[ (4,5) \bigr]}_\sim = -1} \\[0.5em] &= {\bigl[ (7,5) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= 2, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Subtraktion von ganzen Zahlen folgt.

Kommutativität

Die Subtraktion von ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\) ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

\[ n_1 \ominus n_2 \neq n_2 \ominus n_1. \]

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von ganzen Zahlen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{align*} n_1 &= 1 = {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= 2 = {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die ganzen Zahlen \(n_1\) und \(n_2\) gilt:

\begin{align*} n_1 \ominus n_2 &= 1 \ominus 2 \\[0.5em] &= {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (3,4) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= -1 \\[1.5em] n_2 \ominus n_1 &= 2 \ominus 1 \\[0.5em] &= {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (4,3) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= 1, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Subtraktion von ganzen Zahlen folgt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion von ganzen Zahlen. Die ganze Zahl \(0 = {\bigl[ (1,1) \bigr]}_\sim\) ist rechts-, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element einer ganzen Zahl \(n\) bezüglich der Subtraktion von ganzen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.